Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datMaticové populační modely Konstrukce modelů Maticové modely s jedním i-stavem

Logo Matematická biologie

Maticové modely s jedním i-stavem

Uvažujme populaci strukturovanou podle jediného kriteria. Tím může být např. věk jedince (vyjádřený nezáporným celým číslem), vývojové stadium (vajíčko - larva - kukla - imago), reprodukční stav (juvenilní - plodný) a podobně. Jinak řečeno, představujeme si že jedinci z populace jsou roztříděni do několika několika tříd. Tato populace se v čase nějak vyvíjí. Časovou jednotku zvolíme tak, že během ní se libovolný jedinec může nejvýše jednou přesunout do nějaké jiné třídy (zestárne o rok, zakuklí se, dospěje ...), nebo může „vyprodukovat“ jedince nějaké jiné třídy (naklade vajíčka, zplodí potomka ...). Budeme předpokládat, že podíl jedinců z jedné (určité) třídy, kteří se přesunou do jiné (určité) třídy je v čase konstantní, a že počet nových jedinců v jisté třídě, které vyprodukovali jedinci z jiné (určité) třídy, se v čase také nemění.

Poněkud formálněji: populace (množina jedinců) je v čase roztříděna na disjunktních tříd. V průběhu projekčního intervalu, tj. jednotkového časového intervalu, se jistá část jedinců z -té třídy přemístí do -té třídy, nebo každý jedinec z -té třídy dá vzniknout jistému počtu jedinců z -té třídy; toto množství nazveme specifickým příspěvkem -té třídy do třídy -té. Situaci můžeme vyjádřit graficky.

Graf životního cyklu je hranově ohodnocený orientovaný graf.

  • Množina uzlů je množinou i-stavů; každý uzel odpovídá jedné třídě. Uzel budeme jednoduše zobrazovat jako .
  • Z uzlu vede hrana (šipka) do uzlu pokud specifický příspěvek -té třídy do -té je nenulový.
  • Hrana z uzlu do uzlu je ohodnocena specifickým příspěvkem třídy -té do -té.

Nevylučujeme možnost, že některá třída, řekněme -tá, přispívá do sebe samé, tj. část jedinců z -té třídy se nikam nepřesune nebo vyprodukuje potomky své vlastní třídy. V takovém případě je ve vrcholu smyčka.

Z grafu životního cyklu již snadno sestavíme maticový populační model. Označme velikost (počet jedinců) -té třídy v čase a specifický příspěvek -té třídy do -té. Pak velikost -té třídy v čase je rovna součtu příspěvků všech tříd do třídy -té během projekčního intervalu. Přitom celkový příspěvek -té třídy do -té je roven specifickému příspěvku vynásobenému počtem jedinců v -té třídě. Tedy

Stejný vztah platí pro každou třídu Předchozí rovnosti tedy můžeme zapsat vektorově (maticově) a dostaneme projekční rovnici tvaru

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict