Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datMaticové populační modely Modely s konstantní projekční maticí Transientní dynamika Rychlost konvergence ke stabilizované struktuře

Logo Matematická biologie

Rychlost konvergence ke stabilizované struktuře

Buď největší z modulů vlastních hodnot matice menších než ; v případě klademe

Koeficient tlumení (dumping ratio) definujeme jako

pro klademe Zřejmě je Porovnáním s výsledky oddílu  Řešení projekční rovnice vidíme, že existuje konstanta taková, že

(24)

pro libovolnou normu na ekvivalentní s euklidovskou. Koeficient tlumení tedy vyjadřuje rychlost konvergence ke stabilizované struktuře.

V případě primitivní matice lze nerovnost Modely s konstantní projekční maticí (24) přepsat na tvar

Ke každému nezápornému vektoru tedy existuje konstanta taková, že

Odtud dále plyne, že existuje kladná konstanta taková, že

(25)

pro všechna Tato vlastnost umožňuje zformulovat a dokázat jeden výsledek z teorie primitivních matic:

Věta 2.3. Buď primitivní matice typu její dominantní vlastní hodnota, resp. její pravý, resp. levý, vlastní vektor příslušný k dominantní vlastní hodnotě, tj.

a nechť platí Pak matice   je regulární a řada absolutně konverguje. Přitom platí

(26)

Důkaz. Buďte libovolné indexy. Pak platí

 
 

a tedy s využitím binomické věty dostaneme

 

Řada

konverguje absolutně, neboť podle nerovnosti Modely s konstantní projekční maticí (25) je majorizována konvergentní řadou. Z předchozího výpočtu plyne, že absolutně konverguje ke stejnému součtu také geometrická řada

Platí tedy

což je dokazovaná rovnost Modely s konstantní projekční maticí (26).

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict