Metoda kvadratického programování

Tuto metodu nejprve ukážeme na konkrétním příkladu. Uvažujme populaci strukturovanou do tří tříd (stadií), přičemž v první třídě jsou novorozenci a ve třetí jsou plodní jedinci. Vývoj populace je tedy popsán projekční rovnicí

(6)

Tuto rovnici můžeme přepsat v jednotlivých složkách jako systém

nebo v jiném maticovém tvaru

(7)

Matici na pravé straně této rovnice označíme vektor označíme a rovnici zapíšeme stručně jako

Tyto rovnice můžeme zapsat jako jednu

-rozměrný vektor na levé straně označíme matici typu na levé straně označíme a dostaneme

Složky vektoru a složky matice jsou měřené hodnoty, vektor je tvořen parametry, které chceme odhadnout. Pokud by se populace vyvíjela přesně podle modelu Identifikace parametrů modelu (6) a pozorování by nebyla zatížena chybou, platilo by podle předchozí rovnosti neboli Proto za odhady parametrů vezmeme takové, které minimalizují normu vektoru konkrétně použijeme normu euklidovskou.

Parametry jsou nezáporné, vyjadřují pravděpodobnosti, součet pravděpodobnosti přežití a přechodu ze druhé do třetí třídy a přežití ve druhé třídě nemůže převýšit hodnotu 1. Parametry tedy musí splňovat nerovnosti

Tyto nerovnosti přepíšeme v maticovém tvaru

(8)

Matici na levé straně označíme vektor na pravé straně označíme a dostaneme podmínky ve tvaru

Celkem tak dostáváme, že odhad parametrů můžeme hledat tak, že najdeme minimum normy vektoru za podmínky Identifikace parametrů modelu (8), stručně

V obecném případě uvažujeme populaci vyvíjející se podle rovnice

(9)

která odpovídá rovnici Identifikace parametrů modelu (6) z úvodního příkladu a kterou můžeme přepsat ve tvaru

(10)

kde je jednotková matice řádu (viz výpočet v časti Vektory, matice a operace s nimi). Označíme-li můžeme tuto rovnost zapsat stručněji,

(11)

Předpokládáme, že známe strukturu matice takže víme, že mezi jejími složkami je právě nenulových a zbývajících je nulových; v úvodním příkladu bylo a Vektor tedy obsahuje pouze nenulových prvků. Je-li -tá složka vektoru rovna nule, pak každý prvek z -tého sloupce matice je při násobení v předchozí rovnosti násoben nulou. To znamená, že -tý sloupec matice k výsledku ničím nepřispívá, je zbytečný. Tato úvaha vede k tomu, že můžeme snížit dimenzi problému. Vektor nahradíme vektorem , který obsahuje nenulové prvky vektoru, matici nahradíme maticí která vznikne z matice tak, že v ní vynecháme všechny sloupce, které odpovídají nulovým prvkům vektoru ; v úvodním příkladu se jednalo o rovnici Identifikace parametrů modelu (7). Rovnosti Identifikace parametrů modelu (11) tedy přepíšeme ve tvaru

(12)

nebo souhrnně

Vektor na levé straně označíme matici na pravé straně označíme a dostaneme

(13)

Vektor i matice jsou složeny z pozorovaných hodnot, vektor je -ticí parametrů, které chcem odhadnout. Pokud by se vývoj populace přesně řídil modelem Identifikace parametrů modelu (9), pak by podle rovnosti Identifikace parametrů modelu (13) platilo Tato úvaha vede k tomu, že za odhady parametrů vezmeme takové hodnoty, aby norma vektoru byla co nejmenší.

Hodnota nezávisí na parametrech, proto stačí minimalizovat výraz v závorce. Označíme

Pak je matice typu a je symetrická. Hledáme vektor s nezápornými složkami tak, aby

(14)

Kromě nezápornosti musí složky vektoru splňovat i další podmínky - pravděpodobnosti nemohou překročit hodnotu 1, součet všech pravděpodobností vyjadřujících přechod z nějakého stadia do jiných také nemůže být větší než 1 a podobně. Všechna taková omezení jsou lineární, můžeme je tedy podobně jako nerovnosti Identifikace parametrů modelu (8) z úvodního příkladu obecně zapsat ve tvaru

(15)

kde je vhodná matice a je vhodný vektor; matice má sloupců, počet jejích a řádků je roven dimenzi vektoru

Úloha Identifikace parametrů modelu (14), Identifikace parametrů modelu (15) je úlohou kvadratického programování v základním tvaru.