Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datStatistické modelování Zobecněné lineární modely Základní pojmy a definice Maximálně věrohodné odhady

Logo Matematická biologie

Maximálně věrohodné odhady

Uveďme nejprve pár nezbytných definic a pojmů nezbytných k dalším úvahám.

Definice 2.1. Mějme  parametrický prostor Řekneme, že systém -parametrických hustot

je regulární, jestliže platí

(1)

 je otevřená borelovská množina.

(2) Množina  nezávisí na parametru
(3)

Pro každé  existuje konečná parciální derivace

 
(4)

Pro všechny platí

kde je odpovídající distribuční funkce.

 

(5)

Pro všechny  je integrál

konečný a matice  je pozitivně definitní.  Matice se nazývá Fisherova informační matice o parametru

Poznámka 2.2. Pro jednoduchost někdy hovoříme o regularitě ne o regularitě systému hustot.

Definice 2.3. Nechť Pak náhodný vektor

 se složkami

se nazývá skórový vektor příslušný hustotě

Věta 2.4.

(1)

Je-li a pro existují

pak

(2)

Platí-li navíc  pro 

pak

kde

V dalším budeme uvažovat  náhodný výběr  z rozdělení s regulární  hustotou Označme Pak sdružená (simultánní) hustota náhodného vektoru  je rovna

neboť náhodný výběr je tvořen systémem nezávislých náhodných veličin.

Zaveďme  následující značení pro:

  • funkce:

  • náhodné vektory:

  • maticové funkce:

Věta 2.5. Uvažujme náhodný výběr z rozdělení s hustotou

(1)

Pokud pro  existují

pak

(2)

Platí-li navíc  pro 

(tj. je regulární i v 2. derivacích), pak

kde

Následující věta uvádí asymptotické vlastnosti skórových vektorů náhodných výběrů.

Věta 2.6. Mějme náhodný výběr  z rozdělení s regulární hustotou  Označme Nechť pro  všechna  existují druhé parciální derivace hustoty

(1)

Pak platí

nebo ekvivalentně

Dále platí

nebo

 

(2)

Platí-li navíc, že je regulární i v 2.derivacích, tj.

pak matice náhodných veličin

nebo ekvivalentně

V dalším budeme uvažovat pouze regulární hustoty, tj. 

Definice 2.7.

(a)

Věrohodnostní funkcí rozumíme funkci vektorového parametru

 
(b)

logaritmickou věrohodnostní funkcí nazýváme funkci

 
(c)
Řekneme, že odhad je maximálně věrohodný odhad (MLE) vektorového parametru pokud platí
         

pro všechna 

V poslední větě této části uveďme důležité vlastnosti, které se týkají asymptotického rozdělení maximálně věrohodných odhadů.

Věta 2.8. Mějme náhodný výběr  z rozdělení s regulární hustotou  Označme Nechť pro  všechna   a  existují druhé parciální derivace hustoty  a platí

Pak

(1)
(2)

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict