Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datStatistické modelování Zobecněné lineární modely Definice jednorozměrného GLM Definice jednorozměrného GLM

Logo Matematická biologie

Definice jednorozměrného GLM

Předchozí pasáž nám poskytla motivaci pro hledání obecnějšího modelu, než je model lineární. Uveďme nyní již samotnou definici zobecněného lineárního modelu a poté několik příkladů pro lepší názornost.

Definice 3.1. (Zobecněný lineární model). Mějme náhodný výběr

a nechť rozdělení závisí na pevných vektorech

prostřednictvím neznámého vektoru parametrů

Matice

má rozměr a hodnost

Říkáme, že  se řídí zobecněným lineárním modelem (Generalized Linear Model), jestliže dále platí:

(1)

rozdělení  je exponenciálního typu s regulární hustotou tvaru

(3)
(2)

parametr závisí na a prostřednictvím parametru

(4)

 

který nazveme lineární prediktor.

(3)

Existuje známá ryze monotónní diferencovatelná funkce tzv. linkovací funkce (link function), a platí

 

Řekneme, že linkovací funkce je kanonická, pokud

 

 

 

 

 

 

 

 

Matici nazýváme maticí plánu.

Příklad 3.2. Regresní přímka v klasickém lineárním regresním modelu:

jsou pro nezávislé náhodné veličiny,

je identická linkovací funkce, a jsou neznámé parametry  (přičemž je rušivým parametrem) a jsou známé kovariáty.

Obr. 1. Ukázka klasického regresního modelu s homogenním rozptylem.

Příklad 3.3. (Regresní modely s logaritmickou linkovací funkcí pro exponenciálně a gamma rozdělené závisle proměnné):

jsou pro  nezávislé náhodné veličiny 

je logaritmická linkovací funkce,    jsou neznámé parametry a jsou známé kovariáty.

Obr. 2. Ukázka GLM modelu s linkovací funkcí pro exponenciálně rozdělenou náhodnou veličinu .
Jestliže jsou pro  nezávislé náhodné veličiny je logaritmická linkovací funkce,  a   jsou neznámé parametry ( je rušivý parametr) a jsou známé kovariáty.
 
Obr. 3. Ukázka GLM modelu s linkovací funkcí  pro náhodnou veličinu s gamma rozdělením.

 

Příklad 3.4. Poissonovská regrese:

jsou pro  nezávislé náhodné veličiny

je logaritmická linkovací funkce,  jsou neznámé parametry a jsou známé kovariáty.

Obr. 4. Ukázka poissonovské regrese s linkovací funkcí 

Příklad 3.5. Binomická regrese:

jsou pro  nezávislé náhodné veličiny, kde

je logistická linkovací funkce,  jsou neznámé parametry a jsou známé kovariáty.

Například ve farmaceutickém experimentu může být počet pacientů, kterým byla podána dávka nového léku a počet pacientů dávající pozitivní odpověď na danou dávku nového léku.

Jestliže pozorujeme, že roste spolu s  hledáme model, ve kterém je funkcí hodnot Proto model není vhodný, avšak obvykle pracuje dobře.

Obr. 5. Ukázka binomické regrese s linkovací funkcí

Příklad 3.6. Kontingenční tabulky:

jsou pro   nezávislé náhodné veličiny, například počet lidí -té etnické skupiny, kteří volí politickou stranu

Snahou bude testovat hypotézu

pro všechna kde jsou neznámé parametry, a tj. chceme testovat hypotézu, že volba strany a etnická příslušnost jsou nezávislé.

Připomeňme, že
takže
a za platnosti hypotézy
ekvivalentně pro nějaké

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict