Speciální modely lineární regrese

Speciální volba matice  vede ke speciálním modelům lineární regrese, které popisují časté experimentální situace.

Model I. Regresní přímka

   ; 

Malice plánu

   

a model bude plné hodnosti, pokud všechny hodnoty  nebudou stejné.

Normální rovnice jsou tvaru:

Model II. Regrese procházející počátkem 

,  

Matice plánu

a model bude plné hodnosti, pokud alespoň jedna z hodnot  bude různá od nuly.  

Normální rovnice

Model III. Kvadratická regrese

 

Matice plánu

 

Normální rovnice jsou tvaru:

Model IV. Polynomická regrese

Matice plánu

 

Při polynomické regresi vyšších řádů je třeba kontrolovat, zda matice  není špatně podmíněná, což nastává, pokud determinant této matice je blízký nule. Tento jev se také nazývá multikolinearitou. Pro posuzování multikolinearity existuje řada orientačních kritérií. 

Model V. Dva nezávislé výběry se stejnou variabilitou

 

kde  budeme chápat jako společnou hladinu a  jako příspěvek druhého výběru.

Matice plánu

s použitím tzv. tečkové notace

Normální rovnice jsou tvaru:

Odečteme-li od první rovnice druhou, dostaneme

Pokud obě strany druhé rovnice vydělíme výrazem  můžeme psát

Model VI. Více nezávislých výběrů s homogenním rozptylem

 

(a)	Pokud bychom jako neznámé parametry uvažovali , pak dostaneme model, který není plné hodnosti, neboť první sloupec je součtem všech ostatních. Říkáme, že model je přeparametrizován (tzv. "overparametrized model").
(b)	Protože matice plánu  není plné hodnosti, proveďme proto následující reparametrizaci:  Pak   Maticově, lze napsat tento regresní model ve tvaru

takže dostáváme

Model VII. Dvě regresní přímky (se stejným rozptylem).

Mějme dva nezávislé náhodné výběry  (resp. ) a k tomu odpovídající hodnoty regresorů  (resp. ). Předpokládejme, že platí

Vytvořme společný regresní model:

Vyjádřeno blokově:

Počítejme postupně

 

Označme

Pak

a

Testování rovnoběžnosti dvou regresních přímek

Při testování hypotézy  proti alternativě  využijeme toho, že statistika

Položme

 Za platnosti nulové hypotézy statistika

Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti ,  pokud

  nebo pomocí p-value

Testování shodnosti dvou regresních přímek

Budeme testovat hypotézu  proti alternativě  

Využijeme vlastnosti

a

dále

takže k testování nulové hypotézy použijeme statistiku

a nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti , pokud

nebo

  nebo pomocí p-value, jestliže

nebo

Ověřování shodnosti rozptylů

Při testování hypotézy  proti alternativě  využijeme toho, že statistika

a nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti , pokud

nebo

nebo pomocí p-value, jestliže

nebo