Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datStatistické modelování Konkrétní GLM modely Modely pro multinomická data Kontingenční tabulky

Logo Matematická biologie

Kontingenční tabulky

Mějme náhodný výběr rozsahu pro který kde jsou kladná přirozená čísla, tj. náhodný výběr lze rozepsat takto

Předpokládejme, že náhodný výběr je z Poissonova rozdělení, tj.

s tzv. celkovou dodatečnou podmínkou

kde jsou realizace náhodných veličin

Pak sdružená (nepodmíněná) pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru  je rovna

 

Součet nezávislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením má opět Poissonovo rozdělení, tj.

Nás ovšem zajímá  rozdělení náhodného vektoru  za podmínky (tj. že součet jeho složek je roven pevně danému kladnému přírozenému číslu ) s pravděpodobnostní funkcí kterou lze snadno vypočítat ze vztahu

kterou s využitím vztahů

lze upravit takto

a položíme-li

Z předchozích úvah vidíme, že platí následující věta.

Věta 5.1. Rozdělení náhodného vektoru  za podmínky  je multinomické s pravděpodobnostní funkcí

tj.

přičemž

Poznámka 5.2. Multinomické rozdělení popisuje situaci, kdy máme neslučitelných jevů, které označme

Jednotlivé jevy mohou nastat v každém z nezávislých pokusů s pravděpodobnostmi

Multinomické rozdělení je zobecněním binomického rozdělení a je patrně nejdůležitějším diskrétním mnohorozměrným rozdělením. Svým významem by se dalo přirovnat k mnohorozměrnému normálnímu rozdělení, jemuž se podobá především díky dvěma vlastnostem: podmíněná i marginální rozdělení jsou opět multinomická. Realizace náhodných veličin i teoretické pravděpodobnosti lze uspořádat do tzv. kontingenční tabulky:

 

Čísla a se nazývají marginální četnosti a a jsou marginální pravděpodobnosti. Tabulky popisujeme slovně tak, že říkáme, že jednotek bylo klasifikováno podle znaku A do tříd a podle znaku do tříd. V praxi kontingenční tabulka vzniká tak, že na daných objektech sledujeme dva znaky (faktory). Vybereme-li náhodně objektů, můžeme výsledky shrnout do kontingenční tabulky typu

Nejčastěji se v kontingenčích tabulkách testuje hypotéza, že

 

 

faktory A a B jsou nezávislé

 

 

 

tj.

Poznámka 5.2. Poznamenejme, že existuje samozřejmě více testů v kontingenčních tabulkách, např. test homogenity. Případně lze tyto testy rozšířit na vícerozměrné kontingenční tabulky. Pro více informací o modelech pro tyto případy odkazujeme čtenáře na [6].

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict