Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datStatistické modelování Zobecněné lineární modely Základní pojmy a definice Exponenciální třída rozdělení pravděpodobností

Logo Matematická biologie

Exponenciální třída rozdělení pravděpodobností

Přirozenou třídou hustot, se kterými budeme dále pracovat, je třída hustot exponenciálního typu. Uveďme nejprve její definici.

Definice 2.9. Řekneme, že pozorování pochází z rozdělení exponenciálního typu, pokud jeho pravděpodobnostní funkce (v případě diskrétních rozdělení) či hustota (v případě spojitých rozdělení) je tvaru

kde

je (neznámý) tzv. přirozený parametr

a

  jsou známé funkce.

Pokud

  • říkáme že  pravděpodobnostní funkce, popř. hustota je v kanonické formě.
  • v konkrétním rozdělení figurují další neznámé parametry, nazveme je tzv. rušivými parametry.

V dalším budeme uvažovat pouze regulární a kanonické formy  spolu s podmínkou a přitom zavedeme do označení jeden rušivý parametr :

kde  a  jsou parametry
  jsou známé funkce,
a pokud    
  je tzv. faktor měřítka (scale factor)
     je známá apriorní váha.

Tato forma se také nazývá škálovou formou hustoty exponenciálního typu.

Poznámka 2.10. Jestliže neplatí  stačí provést jednoduchou reparametrizaci a zavést případně nový parametr

který se pak nazývá kanonickým parametrem.

Lemma 2.11. Mějme náhodnou veličinu z rozdělení s regulární hustotou  exponenciálního typu:

(1)

Pak

Nechť navíc platí

(2)

kde pak

Funkce se nazývá rozptylovou funkcí (variance function).

Příklady rozdělení exponenciálního typu

Příklad 2.12. (Normální rozdělení). Mějme

Pak
a
     
 
Skutečně platí      
     
a        
   
Tedy přirozený parametr scale factor
  rozptylová funkce váhy

 

 

Příklad 2.13. (Binomické rozdělení). Mějme

pak
pro    
přičemž
a

Pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci

Tedy
a
   
 
Skutečně platí    
     
a      
   
       
Tedy přirozený parametr  
  rozptylová funkce  
  scale factor  
  váhy  

Poznámka 2.14. Je třeba poznamenat, že ve vztahu

se vedle parametru vyskytuje i parametr který je však vždy znám. Abychom dostáli úvodní definici Zobecněné lineární modely (1), proto ho nebudeme považovat za rušivý parametr, ale za známou konstantu. Tomuto problému se lze vyhnout, když přejdeme od absolutních četností k relativním četnostem

V případě, že uvažuje místo absolutních relativní četnosti: je pravděpodobnostní funkce nenulová pro a je tvaru

 
a
Pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci
 
Tedy
a
   
 
Skutečně platí  
   
     
Tedy přirozený parametr
  rozptylová funkce
  scale factor
  váhy

Příklad 2.15. (Poissonovo rozdělení). Mějme

pak
přičemž
a

Protože pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci

a
 
   
 
Skutečně platí    
     
a      
   
       
Tedy přirozený parametr  
  rozptylová funkce  
  scale factor  
  váhy  

Příklad 2.16. (Gamma rozdělení). Mějme

Pak
přičemž
a

Tento tvar hustoty je však pro nás nevhodný (ve střední hodnotě máme rušivý parametr ), proto uvažujme reparametrizaci

pak
přičemž
a

Hustota není v kanonickém tvaru, proto parametrizujme

pak
a
   
 
Skutečně platí    
     
a      
   
       
Tedy přirozený parametr  
  rozptylová funkce  
  scale factor  
  váhy  

Příklad 2.17. (Exponenciální rozdělení). Exponenciální rozdělení je speciálním případem gamma rozdělení

Pak
přičemž
a

Hustota není v kanonickém tvaru, proto parametrizujme

Tedy
a
   
 
Skutečně platí    
     
a      
   
tj. jde o regulární systém hustot a navíc platí podmínka Zobecněné lineární modely (2).
Tedy přirozený parametr  
  rozptylová funkce  
  scale factor  
  váhy  

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict