Více nezávislých náhodných výběrů z alternativních rozložení

Test homogenity binomických rozložení

Nechť  a jsou nezávislé náhodné výběry z alternativního rozložení. Testujeme hypotézu proti alternativní hypotéze  : „alespoň jedna dvojice parametrů je různá“. 

Věta 5.1. Statistika

má v případě platnosti nulové hypotézy asymptoticky rozložení .  tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když  

Poznámka 5.2. Test lze použít, pokud  pro všechna  

Poznámka 5.3. Statistiku Q lze snadno upravit do Brandtova¹ - Snedecorova² výpočetního tvaru

(1)

Test homogenity binomických rozložení založený na arkussinusové transformaci

Není-li splněna podmínka pro všechna doporučuje se následující postup:

Věta 5.4. Označme

Pak statistika

tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když  

Mnohonásobné porovnávání

Zamítneme-li nulovou hypotézu na asymptotické hladině významnosti , chceme zjistit, které dvojice parametrů a se liší.

Věta 5.5. Platí-li nerovnost

pak na hladině významnosti zamítáme hypotézu o shodě parametrů  a  

Poznámka 5.6. Hodnoty  jsou kvantily studentizovaného rozpětí. Najdeme je ve statistických tabulkách.

Příklad 5.7. Na gymnázium bylo přijato 142 studentů. Ti byli náhodně rozděleni do tříd A, B, C, D. V každé třídě byla matematika vyučována jinou metodou. Na konci školního roku psali všichni studenti stejnou písemnou práci a byl zaznamenán počet těch studentů, kteří vyřešili všechny zadané úkoly.

Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozdíly v podílech studentů v jednotlivých třídách, kteří správně vyřešili všechny zadané úlohy, jsou způsobeny pouze náhodnými vlivy.

Řešení. Máme čtyři nazávislé náhodné výběry, j-tý pochází z rozložení Testujeme hypotézu Ze zadání a výpočtem zjistíme:

 

 

Protože testové kritérium se realizuje v kritickém oboru, zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Spočteme arkussinusové transformace výběrových průměrů. Vyjde:

Nyní metodou mnohonásobného porovnávání zjistíme, které dvojice parametrů se od sebe liší na hladině významnosti 0,05.

Na hladině významnosti 0,05 se liší třídy A, C a A, D.

¹Alva Esmond Brandt. Americký matematik. Pomohl vzniku katedry statistiky na Zemědělské fakultě Floridské univerzity.

²George Waddell Snedecor (1882 - 1974). Americký matematik.