Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datStatistické modelování Základní pojmy matematické statistiky Bodové a intervalové odhady parametrů normálního rozdělení

Logo Matematická biologie

Bodové a intervalové odhady parametrů normálního rozdělení

Nechť    Připomeňme, že platí:

Normální rozdělení s hustotou

má střední hodnotu  a rozptyl . Toto rozdělení má následující vlastnosti:

 

 

 rozdělení:

 

Studentovo t-rozdělení:

 

Fisherovo-Snedecorovo F-rozdělení:

 

Věta 5.1. Mějme  a výběrový průměr  a výběrový rozptyl . Pak platí

(1)
Výběrový průměr
(2)
Statistika
(3)
Statistika
(4)
Statistika

 

Poznámka 5.2. Statistiky , a se nazývají PIVOTOVÉ STATISTIKY, přičemž

je pivotovou stastistikou pro neznámý parametr
při známém 
-||-
 
-||- 
při neznámém 

 

Důsledek 5.3. Mějme , kde  je neznámý parametr a  je známé reálné číslo. Pak

 

- je  interval spolehlivo

pro střední hodnotu při známém

 

- je dolní odhad střední hodnoty

 při známém  se spolehlivostí 

 

- je horní odhad střední hodnoty

při známém  se spolehlivostí 

 

Důkaz. Za pivotovou statistiku zvolíme statistiku

 

Pro lepší čitelnost místo  budeme psát

pouze .

 

Počítejme 

 
 

Důsledek 5.4. Mějme , kde a jsou neznámé parametry. Pak

(1) pro střední hodnotu 

- je  interval spolehlivo

pro střední hodnotu  při známém 

- je dolní odhad střední hodnoty

při známém  se spolehlivostí 

- je horní odhad střední hodnoty

při známém  se spolehlivostí 

(2) pro rozptyl 
- je interval spolehlivosti pro rozptyl

- je dolní odhad rozptylu

se spolehlivostí 

- je horní odhad rozptylu 

se spolehlivostí 

 

V dalším si budeme všímat intervalů spolehlivosti pro DVA NEZÁVISLÉ VÝBĚRY.

Veta 5.5. Nechť  je náhodný výběr rozsahu  z normálního rozdělení ,  je jeho výběrový průměr a  jeho výběrový rozptyl.

Dále nechť je náhodný výběr rozsahu z normálního rozdělení   je jeho výběrový průměr a jeho výběrový rozptyl.

Předpokládejme, že oba výběry jsou stochasticky nezávislé, tj. . Pak

(1)

Statistika

 

(2)

Pokud  pak statistika

(3)

Statistika

 

Důsledek 5.6. Nechť  je náhodný výběr rozsahu  z normálního rozdělení  je jeho výběrový průměr a  jeho výběrový rozptyl.

Dále nechť  je náhodný výběr rozsahu  z normálního rozdělení   je jeho výběrový průměr a  jeho výběrový rozptyl.

Předpokládejme, že oba výběry jsou stochasticky nezávislé, tj. . Pak

(1)

jsou-li   pak interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot  je tvaru

 

(2)

Jestliže  a platí pak  interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot  je tvaru

kde

 

(3)

Při    je   interval spolehlivosti pro podíl rozptylů  roven

 

Poznámka 5.7. Ve statistických tabulkách bývají uváděny kvantily F-rozdělení pouze pro hodnoty . Ukážeme, proč není třeba uvádět hodnoty kvantilů pro . Uvažujme místo pivotové statistiky statistiku

Opět označme  a  a počítejme interval spolehlivosti pro takto navrženou pivotovou statistiku

Takže 

a interval spolehlivosti pro  lze vyjádřit i takto

 

V dalším se zaměříme na interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot u tzv. PÁROVÝCH VÝBĚRŮ.

Věta 5.8. Nechť  je náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozdělení  s parametry 

 

kde

Pro  označme

Pak

je intervalový odhad parametrické funkce  o spolehlivosti .

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict