Úlohy k procvičení

Cvičení 1. Nechť  a jsou nezávislé nestranné odhady parametru . Předpokládejme, že rozptyl statistiky je dvakrát větší než rozptyl statistiky . Určete konstanty  a tak, aby odhad  byl nestranným odhadem parametru  s nejmenším rozptylem.

Řešení

Cvičení 2. Uvažujme náhodný výběr z rozdělení s konečným rozptylem . Určete konstantu tak, aby statistika  byla nestranným odhadem rozptylu.

Řešení

Cvičení 3. Nechť je náhodný výběr z rovnoměrného rozdělení , . Uvažujme statistiky  a . Rozhodněte, zda jsou statistiky a nestrannými odhady parametru , případně je upravte tak, aby byly nestrannými odhady.

Řešení

Cvičení 4. Porovnejte rozptyly obou statistik (upravených tak, aby byly nestranné) z Cvičení 3.

Řešení

Cvičení 5. Jsou statistiky  a  konzistentními odhady parametru  ?

Cvičení 6. Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách a z jejich výsledků byl vypočten odhad . Najděte interval spolehlivosti pro , je-li známo, že rozptýlení rychlosti letadla se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou .

Řešení

Cvičení 7. Deset balíčků mouky pocházejících z balícího stroje mělo hmotnosti v gramech: 987, 1 001, 993, 994, 993, 1 005, 1 007, 999, 995, 1 002. Sestrojte  interval spolehlivosti pro střední hodnotu a rozptyl hmotnosti (předpokládejte normální rozdělení).

Řešení

Cvičení 8. Při zjišťování přesnosti nově zaváděné metody pro stanovení obsahu manganu v oceli bylo rozhodnuto provést 4 nezávislá měření. Stanovte dolní odhad pro  s rizikem 0,05, když výsledky měření byly: . Údaje o obsahu manganu považujeme za náhodný výběr z normálního rozdělení.

Řešení

Cvičení 9. Ze základního souboru byl proveden náhodný výběr s naměřenými intervalovými hodnotami a jejich četnostmi sledovaného znaku

Určete

(a)	interval ve kterém se nachází střední hodnota  s pravděpodobností 0,95
(b)	interval ve kterém se nachází rozptyl  s pravděpodobností 0,95.

Řešení

Cvičení 10. Z 42 náhodně vybraných účastníků sportovního odpoledne bylo 16 dívek a 26 chlapců. Určete interval spolehlivosti pro podíl dívek mezi účastníky.

Řešení

Cvičení 11. Mezi 160 pracovníky (náhodně vybranými z 8 ,000 pracujících v závodě) 48 cestuje do práce vlakem. Napište bodový odhad a  interval spolehlivosti pro podíl a počet zaměstnanců dopravujících se vlakem.

Řešení

Cvičení 12. Mezi 160 pracovníky (náhodně vybranými z 8 ,000 pracujících v závodě) 48 cestuje do práce vlakem. Napište bodový odhad a  interval spolehlivosti pro podíl a počet zaměstnanců dopravujících se vlakem.

Řešení

Cvičení 13. Spotřeba téhož auta byla testována u 11 řidičů s výsledky 8,8; 8,9; 9,0; 8,7; 9,3; 9,0; 8,7; 8,8; 9,4; 8,6; 8,9 (l/100km). Můžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že je pravdivá výrobcem udávaná spotřeba 8,8 l/100km$? Můžeme na stejné hladině významnosti popřít tvrzení, že rozptyl spotřeby je 0,1?

Cvičení 14. Na hladině významnosti  testujte hypotézu  o směrodatné odchylce normálně rozdělené náhodné veličiny, jestliže je zaznamenáno .

Cvičení 15. Denní přírůstky váhy selat (v dkg) byly při krmení směsí A : 62, 54, 55, 60, 53, 58, u směsi B : 52, 56, 50, 49, 51. Je mezi nimi statisticky významný rozdíl?

Cvičení 16. U 6 aut bylo zjištěno ojetí předních pneumatik (v mm)

Ojíždějí se levá a pravá pneumatika stejně? 

Cvičení 17. Pro bavlněnou přízi je předepsána horní mez variability pevnosti vlákna: rozptyl pevnosti (která má normální rozdělení) nemá překročit . Při zkoušce 16 vzorků byly zjištěny výsledky 2,22, 3,54, 2,37, 1,66, 4,74, 4,82, 3,21, 5,44, 3,23, 4,79, 4,85, 4,05, 3,48, 3,89, 4,90, 5,37. Je důvod k podezření na vyšší nestejnoměrnost než je stanoveno?

Cvičení 18. Bylo provedeno měření obsahu  ve strusce dvěma metodami

Je mezi rozptyly výsledků jednotlivých metod podstatný rozdíl?

Cvičení 19. Na základě testu máme na hladině významnosti rozhodnout, zda produkce vajec plemene kornyšek černých je nižší než plemene leghornek bílých. Náhodně jsme vybrali 50 kornyšek a 40 leghornek, u nichž byla zjištěna roční produkce vajec. Byl vypočten roční průměr produkce na slepici - kornyška 275, leghornka 280. Z dřívějška jsou známy rozptyly .