Základní statistické testy v regresním modelu

Klíčovou úlohou v biostatistice představuje testování statistických hypotéz. V této kapitole se seznámíme se dvěma základními třídami hypotéz, které můžeme v regresních modelech testovat.

Příklad: Nejjednodušší (a zřejmě nejčastěji testovanou) nulovou hypotézou je rovnost některého z regresních koeficientů 0. Tak můžeme například testovat klinickou hypotézu, že se koncentrace vitaminu D v krevním séru mění s rostoucím indexem tělesné hmotnosti. Nulová (H₀) a alternativní (H₁) hypotézy tedy vypadají následovně:

Tento jednoduchý příklad reprezentuje první třídu hypotéz, kdy testujeme rovnost lineární kombinace regresních koeficientů a libovolné konstanty. To lze v případě modelu s jedním prediktorem (dvěma parametry včetně absolutního členu) zapsat jako vektorový součin , kde

Obecně můžeme zkonstruovat testovou statistiku T pro regresní model s k parametry, v tomto případě mají oba vektory c, velikost k ×1. Statistika vypadá následovně:

(2.10)

a má studentovo rozdělení s n – k stupni volnosti. Pokud testujeme hypotézu

pak nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, pokud

kde je 1 - α/2 kvantil studentova rozdělení s n – k stupni volnosti.

Uvedený test nám však nepomůže, pokud chceme otestovat rovnost celého vektoru parametrů proti nulovému vektoru. Takovýto test nám pomůže s rozhodnutím, zda model jako celek dokáže vysvětlit významnou část variability výsledkové veličiny, případně zda umí významnou míru variability vysvětlit kategoriální výsledková proměnná, která je v matici plánu reprezentována několika sloupci (viz dále) a tedy je popsána několika parametry ve vektoru β.

Zavedeme nejprve blokové značení pro následující vektory a matice:

Můžeme testovat následující hypotézu

kde x je vektor reálných čísel.

Testovou statistikou je

(2.11)