Úlohy k procvičení

Cvičení 1. Dokažte vztah Jádrové odhady hustoty (4) pro tvar chyby AMISE.

Řešení

Pomocné výpočty:

Celkem

Cvičení 2. Uvažujte náhodný výběr, který pochází z rozdělení s hustotou pro a který obsahuje 50 prvků. Vypočítejte hodnotu Je výsledná hodnota správná?

Řešení

Pro danou hustotu spočítáme její čtvrtou derivaci: pak Dosazením do vztahu Jádrové odhady hustoty (5) s využitím vlastností jádra dostaneme

Tato hodnota je příliš velká na to, aby byla optimální hodnotou vyhlazovacího parametru pro hustotu, která je definována na intervalu Ve výpočtu samotném není chyba, avšak byl porušen předpoklad o spojitosti derivací funkce až do řádu 4 včetně - viz větu Jádrové odhady hustoty 3.2. Už první derivace této funkce hustoty není spojitá (nakreslete si její graf).

 

Cvičení 3. Vypočítejte hodnotu optimálního vyhlazovacího parametru pro odhad s jádrem řádu 2 pro soubor dat s hustotou

pro

Pomůcka:

Řešení

Postupujeme podobně jako v ukázkovém příkladě Jádrové odhady hustoty 3.5,

Cvičení 4. Dokažte:

a) pro hustotu rozdělení (rovnice Jádrové odhady hustoty (16)).

b) Jestliže hustota má rozptyl pak hustota má rozptyl

Řešení

_a) a

    pak

Víme, že

Odtud plyne, že

a tedy

b)

 (Podrobněji např. [5].)

 

Cvičení 5.  Dokažte vztah Jádrové odhady hustoty (15).

Řešení

Cvičení 6.  Spočítejte pro

• Epanečnikovo jádro
• kvartické jádro

Cvičení 7. Aplikujte metody pro odhad vyhlazovacího parametru a automatickou proceduru na simulovaná data z ukázkového příkladu Jádrové odhady hustoty 3.5.