Úlohy k procvičení
Cvičení 1. Dokažte, že funkcionál je invariantní vzhledem k transformaci
tj.
Řešení
Je zřejmé, že jádro
má nosič
Do funkcionálu
dosadíme jádro
Cvičení 2. Vypočtěte kanonické faktory a hodnoty funkcionálu
pro jádra z tabulky Jádrové funkce a jejich vlastnosti 2.
Cvičení 3. Ukažtem že pro konvoluci platí
Cvičení 4. Nechť Ukažte, že platí následující vztah
Řešení
Výraz
spočítáme postupně pro jednotlivé hodnoty
Podobně pro
a
přičemž využíváme vlastností jádra (definice Jádrové funkce a jejich vlastnosti 1.1).
Cvičení 5. Jak je třeba zvolit konstantu aby funkce
byla jádrem třídy ? Dále dopočítejte hodnoty
a
pro toto jádro.
Řešení
Ověříme podmínky jádra třídy
tj.
odtud spočítáme hodnotu konstanty
metodou per partes spočítáme nebo úvahou o~integrování liché funkce přes symetrický interval odvodíme, že vztah platí,
dvojím použitím metody per partes vypočítáme hodnotu
která je nenulová, tudíž jde o jádro třídy
Nakonec, s využitím vztahu pro druhou mocninu funkce
tj.
spočítáme hodnotu
