![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Trubice s nulovým tokem na okraji
V této a následující části prozkoumáme řešení rovnice difuze
|
(1) |
za podmínky nulového toku na okraji trubice. Počáteční podmínku přitom stále předpokládáme ve tvaru
|
(2) |
Nulový tok znamená, že první derivace koncentrace částic vzhledem k prostorové souřadnici je na okraji trubice nulová. V každém čase je tedy koncentrace částic v nějakém malém, ale celém, okolí okraje konstantní, čímž zde nedochází k difuzi. To však neznamená, že koncentrace je také konstantní v čase. Nikoliv, během času se může měnit, ale tak, aby se v celém, malém, okolí okraje měnila stejným způsobem. Okrajová podmínka je tedy matematicky zapsána ve tvaru
|
(3) |
Nulovost toku na okraji trubice, tzn. platnost Řešení rovnice difuze, 2. část (3) lze, podobně tomu bylo jako u nulové koncentrace na okraji, zajistit trikem. Symetricky vzhledem k okraji, tzn. bodu 0, umístíme zdánlivý zdroj(e) stejné koncentrace, jako je zadáno počáteční podmínkou. Počítáme tedy nyní s tzv. sudým rozšířením funkce
|
(4) |
pomocí níž lze řešení difuzní rovnice Řešení rovnice difuze, 2. část (1) pro s počáteční podmínkou Řešení rovnice difuze, 2. část (2) a okrajovou podmínkou Řešení rovnice difuze, 2. část (3) zapsat jako
|
(5) |
Abychom prozkoumali vliv sudého rozšíření, rozdělíme Řešení rovnice difuze, 2. část (5) na dva integrály a využijeme Řešení rovnice difuze, 2. část (4),
V prvním integrálu provedeme substituci a zaměníme meze. Tím budou oba integrály přes interval
a lze řešení lze přepsat do tvaru
|
(6) |
Vidíme, že v integrandu vystupuje součet hodnot dvou hustot normálního rozložení pravděpodobnosti: reálné a zdánlivé, umístěné symetricky vzhledem k okraji trubice,
Tento princip zajistí nulový tok částic na okraji trubice, tedy platnost okrajové podmínky.
Stejně jako úlohách z předchozí kapitoly dále prozkoumáme speciální počáteční podmínku
|
(7) |
Sudé rozšíření této počáteční podmínky je zřejmě
|
(8) |
a řešení pak dle Řešení rovnice difuze, 2. část (5) či Řešení rovnice difuze, 2. část (6) s pomocí Řešení rovnice difuze (6) nalézáme ve tvaru -násobku součtu hodnot hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou
(poloha reálného zdroje) a rozptylem
a hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou
(poloha zdánlivého zdroje) a stejným rozptylem,
|
(9) |
Řešení je zobrazeno v grafu na obr. Řešení rovnice difuze, 2. část 1. Rozložení koncentrace v trubici v několika časových okamžicích je pak zachyceno v obr. Řešení rovnice difuze, 2. část 2. Na průbězích z obr. Řešení rovnice difuze, 2. část 2 si zejména všimněme, že koncentrace na okraji, tzn. v bodě není nulová, dokonce se v čase mění. Jako funkce prostorové proměnné,
však koncentrace na okraji dosahuje lokálního extrému, první parciální derivace koncentrace vzhledem k
je zde skutečně nulová. Je zde tedy nulový tok, jak je předepsáno okrajovou podmínkou Řešení rovnice difuze, 2. část (3).
|
Obr. 1. Koncentrace C(x,t) v mM dle Řešení rovnice difuze, 2. část (9) v závislosti na prostorové souřadnici
|
|
Obr. 2. Rozložení C(x,t) v mM z obr. Řešení rovnice difuze, 2. část 1 v závislosti na
|