![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Trubice s nulovou koncentrací na okraji
Přejdeme nyní k úlohám o trubici s jedním okrajem, který pro zjednodušení zápisu obvykle umisťován do bodu 0. Podobně jako u nekonečně dlouhé trubice lze i tento model s určitou nepřesností použít v případě trubice konečné délky, kdy druhý okraj je buď dostatečně vzdálený nebo koncentrace částic na něm není vnějším prostředím ovlivňována.
Uvažujeme tedy trubici s jedním okrajem, přičemž počáteční koncentrace částic v ní je popsána funkcí
|
(22) |
Na okraji trubice je koncentrace částic stále udržována na nulové hodnotě, tedy tzv. okrajová podmínka je tvaru
|
(23) |
Řešení difuzní rovnice Řešení rovnice difuze (1) pro s počáteční podmínkou Řešení rovnice difuze (22) a okrajovou podmínkou Řešení rovnice difuze (23) je obvykle uváděno jako
|
(24) |
kde je tzv. liché rozšíření funkce
|
(25) |
Můžeme si virtuálně představit nekonečnou trubici, v níž je v bodě zdroj počáteční koncentrace a v bodě
tedy symetricky vzhledem k okraji skutečné trubice, je místo, z něhož jsou částice stejnou rychlostí odčerpávány. Tato konfigurace zajistí nulovou koncentraci částic v bodě
tedy splnění okrajové podmínky, díváme-li se jen na polovinu trubice. Tvar řešení je principiálně stejný jako řešení Řešení rovnice difuze (11), ale vystupuje v něm liché rozšíření počáteční podmínky.
Aby byl vliv lichého rozšíření na řešení více patrný, rozdělíme Řešení rovnice difuze (24) na dva integrály a využijeme Řešení rovnice difuze (25),
V prvním integrálu následně provedeme substituci a zaměníme meze. Tím budou oba integrály přes interval
a lze řešení lze přepsat do tvaru
|
(26) |
Vidíme, že v integrandu vystupuje rozdíl hodnot dvou hustot normálního rozložení pravděpodobnosti: reálné a zdánlivé, umístěné symetricky vzhledem k okraji trubice,
Právě tento princip zajistí nulovou koncentraci částic na okraji trubice, tedy platnost okrajové podmínky.
Uvažujme dále speciální případ
|
(27) |
kdy je v čase vypuštěno množství
částic v místě
trubice o ploše průřezu
Liché rozšíření této počáteční podmínky je zřejmě (např. si načrtněte graf)
|
(28) |
a řešení pak dle Řešení rovnice difuze (24) či Řešení rovnice difuze (26) s pomocí Řešení rovnice difuze (6) nalézáme ve tvaru násobku rozdílu hodnot hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou (poloha reálného zdroje) a rozptylem
a hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou
(poloha zdánlivého zdroje) a stejným rozptylem,
|
(29) |
Řešení je zobrazeno na grafu v obr. Řešení rovnice difuze 12. Rozložení koncentrace v trubici v několika časových okamžicích je zachyceno v obr. Řešení rovnice difuze 13. Průběh řešení je podobný řešení pro nekonečnou trubici, zde však máme řešení jen na poloprostoru a navíc je reflektována okrajová podmínka nulové koncentrace.
|
Obr. 12. Koncentrace C(x,t) v mM dle Řešení rovnice difuze (29) v závislosti na prostorové souřadnici
|
|
Obr. 13. Rozložení C(x,t) v mM z obr. Řešení rovnice difuze 12 v závislosti na
|