Pravděpodobnost návratu

V této části se budeme zabývat výhradně symetrickou náhodnou procházkou a spočítáme tzv. pravděpodobnost návratu, tedy pravděpodobnost, že náhodně zvolená trajektorie (realizace) symetrické náhodné procházky se vrátí do počátku (bodu 0). Návrat do počátku je zřejmě možný pouze po sudém počtu kroků. Pro liché tedy máte _, pro sudé počítáme podle (8),

Pro velká použijeme Stirlingovu aproximaci Zákon malých čísel 8 faktoriálů a obdržíme

pravděpodobnost návratu do počátku je tedy pro velká sudá přibližně rovna .Označme počet návratů do počátku a počítejme střední hodnotu této náhodné veličiny,

neboť řada diverguje. Odtud podle Borelova-Cantelliho lemmatu plyne, že , dokonce že . Dokázali jsme tedy, že trajektorie symetrické náhodné procházky na přímce se do počátku vrátí (alespoň jednou) s pravděpodobností rovnou jedné. To neznamená, že každá trajektorie se do počátku vrátí, ale že mezi všemi možnými trajektoriemi je pouze konečný počet takových, které se do počátku nikdy nevrátí.

Představme si nyní chodce bloudícího ve městě, jehož ulice tvoří pravoúhlou síť se stejně dlouhými bloky. Na každé křižovatce je bloudící postaven před rozhodnutí, kterou cestu vybrat (včetně té, po níž přišel). V případě symetrické varianty chodec na každé křižovatce vybírá náhodně, se stejnou pravděpodobností, jeden ze čtyř možných směrů pokračování své cesty. Formálně je symetrická dvourozměrná náhodná procházka definována analogicky podmínkám (i)-(iii), její hodnota je v každém kroku ale reprezentována náhodným vektorem , reprezentujícím bod v rovině s celočíselnými souřadnicemi, a místo (1) se v (ii) použije rozdělení pravděpodobnosti

dvourozměrných diskrétních nsr náhodných veličin . I v této situaci můžeme klást otázku, zda chodec dojde na předem určené místo, např. zpět do počátku. Ve dvourozměrné formě symetrické náhodné procházky je to úloha podobná té, kterou jsme již řešili. Opět zřejmě platí, že pro liché je , pro sudé velké pak lze pomocí centrální limitní věty dokázat, že

tzn. pravděpodobnost návratu do počátku je pro velká sudá přibližně rovna . Počítejme střední hodnotu počtu návratů do počátku,

neboť řada diverguje. Podle Borelova-Cantelliho lemmatu odtud dostáváme, že , dospěli jsme tedy ke stejnému závěru, jako v 1D verzi. Bloudící chodec svého předem zvoleného cíle ve 2D skoro jistě (tzn. s pravděpodobností rovnou jedné) dosáhne. 

Avšak pro náhodné procházky ve vyšší než druhé dimenzi již toto neplatí. Například ve 3D je pravděpodobnost návratu do počátku rovna jen 0,341 a ve 4D klesne dokonce na 0,193. Výpočty těchto pravděpodobností jsou náročné a řeší se numericky. Ukážeme si alespoň, proč jsou pravděpodobnosti návratu od třetí dimenze menší než jedna. 

Symetrická třírozměrná náhodná procházka je definovaná jako náhodný proces reprezentující posloupnost bodů s celočíselnými souřadnicemi v třírozměrném prostoru. Místo (1) se v (ii) použije následující diskrétní rozdělení pravděpodobnosti třírozměrných nsr náhodných veličin :

Bloudící chodec v 3D ideálním městě by si tak na každé křižovatce náhodně vybíral jeden ze šesti směrů dalšího pokračování své cesty: vpřed, vzad (zpět), vpravo, vlevo, nahoru, anebo dolů. Návrat do počátku je v této symetrické 3D náhodné procházce možný opět jen po sudém počtu kroků, pro liché je . Pro sudé velké lze pomocí centrální limitní věty dokázat, že

tzn. pravděpodobnost návratu do počátku je pro velká sudá přibližně rovna . Počítejme opět střední hodnotu počtu návratů do počátku. Řada již nyní konverguje (k číslu , jde o tzv. zeta (funkci) a dostáváme tak 

tedy průměrný počet návratů trajektorií ve 3D do počátku je pouze konečný. To podle Borelova-Cantelliho lemmatu znamená, že . Skoro všechny trajektorie se do počátku vrátí pouze v konečně mnoha krocích. Některé trajektorie se tak do počátku nemusí vrátit vůbec a takových trajektorií je, na rozdíl od 1D a 2D případů, nespočetně mnoho. Chodec bloudící ve 3D městě může zvolit jednu z takových trajektorií s nenulovou pravděpodobností, a proto je pravděpodobnost, že se mu podaří se náhodně zvolenou trajektorií náhodné procházky do počátku vrátit, menší než jedna.