Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datVybrané kapitoly z matematického modelování Zákon malých čísel Příbuzná rozdělení pravděpodobnosti

Logo Matematická biologie

Příbuzná rozdělení pravděpodobnosti

Na závěr kapitoly o zákonu malých čísel ještě krátce uvedeme další rozdělení pravděpodobnosti, která jsou principiálně spjata s Poissonovým rozdělením a jež budeme v dalších částech používat. Nechť je náhodná veličina nabývající hodnot v intervalu a to s hustotou pravděpodobnosti (probability density function

 

(9)

kde je dané číslo. Potom říkáme, že náhodná veličina exponenciální rozdělení pravděpodobnosti s parametrem . Později uvidíme, exponenciální rozdělení popisuje časové intervaly mezi příchody tzv. řídkých událostí, tedy takových, jejichž výskyt je popsán zákonem malých čísel (Poissonovým rozdělením) (4). V našem výkladu budeme o veličině hovořit jako o čase. Jak uvidíme ze vztahu pro střední hodnotu, parametr má potom rozměr rovný převrácené hodnotě času.
Distribuční funkce, exponenciálního rozdělení je rovna 

(10)

Zobecněním exponenciálního rozdělení je tzv. gama rozdělení, které ve speciálním případě dostáváme součtem nezávislých exponenciálně rozdělených náhodných veličin se stejným parametrem . Náhodná veličina spojitého typu má gama rozdělení s parametry a , když má hustotu pravděpodobnosti

(11)

Přitom je tzv. gama funkce, pro daná určitým integrálem

(12)

Bezrozměrný parametr se někdy nazývá parametrem tvaru. Pro platí vztah , odpovídající rozdělení pravděpodobnosti se též nazývají Erlangova rozdělení. Speciálním případem gama rozdělení je již zmíněné exponenciální rozdělení, které dostaneme volbou . Pro Erlangova rozdělení ( ), lze distribuční funkci napsat ve tvaru 

(13)


Grafy hustot a odpovídajících distribučních funkcí jsou pro některé hodnoty parametrů zobrazeny na Obr. 4. Pro je hustota ryze klesající a distribuční funkce konvexní. Pro nabývá hustota lokálního maxima pro (tzv. mod), odpovídající distribuční funkce zde má inflexní bod. 

Obr. 4: Hustoty pravděpodobnosti a odpovídající distribuční funkce gama rozdělení pravděpodobnosti. Parametry mají hodnoty: (černě); (červeně); (zeleně); (modře). V případech se jedná o exponenciální rozdělení.

 

Střední hodnota a rozptyl gama rozdělení jsou rovny

(14)

(15)

Pro exponenciální rozdělení, tzn. když , si všimněme typického znaku, kdy rozptyl je roven kvadrátu střední hodnoty,

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict