Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datVybrané kapitoly z matematického modelování Procesy větvení Galtonův-Watsonův proces větvení

Logo Matematická biologie

Galtonův-Watsonův proces větvení

Z pohledu matematického formalismu je Galtonův-Watsonův proces náhodným procesem
s diskrétním časem a diskrétní množinou stavů, , s následujícími vlastnostmi:

(i) , tzn. v nulté generaci je jen jeden jedinec,
(ii) počty potomků každého jedince v každé generaci jsou nsr náhodné veličiny nabývající hodnot s pevně danými pravděpodobnostmi .

Při znalosti velikosti populace v -té generaci lze spočítat pravděpodobnostní rozdělení počtu jedinců v následujících generacích, a to i bez znalosti velikosti populace v předchozích generacích, tzn. Galtonův-Watsonův proces je markovským procesem. Označme náhodnou veličinu, udávající počet potomků -tého jedince z -té generace (potomci jsou v -ní generaci). Z vlastnosti (ii) víme, že náhodné veličiny jsou nsr a platí 

(1)

Pro popis počtu potomků v nulté generaci podle (i) stačí náhodná veličina . Dále je evoluce procesu popsána rekurzivním systémem rovnic 

(2)

kde vystupuje tzv. náhodný součet (náhodná suma). Ten definujeme jako nulu, pokud .

Příklad
Pro ilustraci významu zavedených náhodných veličin a si uveďme jednu realizaci Galtonova-Watsonova procesu. Evoluce populace, která je procesem modelována, je zakreslena v Obr.1 pomocí stromového schématu. Odpovídající počty potomků, , jednotlivých jedinců jsou uvedeny v Tab.1 . Náhodné veličiny pro velikost populace v -té generaci zde nabývají hodnot 

Obr.1: Stromové zobrazení ukazuje jednu realizaci Galtonova-Watsonova procesu větvení pro populaci, která vymře v páté generaci. Uzly značí jedince, každé patro stromu představuje jedince ve stejné generaci, mladší generace jsou umístěny níže. První číslo v uzlu vždy identifikuje jedince v generaci, druhé číslo udává pořadí příslušné generace.

 

Tab.1: Počty potomků jedinců v populaci z Obr.1. Neuvedené veličiny nabývají nulové hodnoty.

 

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict