Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datVybrané kapitoly z matematického modelování Procesy větvení Úlohy k procvičení

Logo Matematická biologie

Úlohy k procvičení

  1. Uvažujme stochasticky nezávislé náhodné veličiny , které mají alternativní rozdělení pravděpodobnosti s pravděpodobností úspěchu . Dále nechť je náhodná veličina s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti se střední hodnotou , nezávislá na náhodných veličinách { }. Odvoďte rozdělení pravděpodobnosti náhodného součtu .

Řešení

Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny pro   je dle (9) rovna , a vytvořující funkce náhodné veličiny je rovna

neboť jde o Taylorovu řadu exponenciální funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodného součtu je pak dle (13) rovna

G S N ( s ) = G N [ G X ( s ) ] = exp { - λ [ 1 - ( 1 - p ) - p s ] } = exp [ - λ p ( 1 - s ) ] ,

což je vytvořující funkce Poissonova rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou .

  1. Uvažujeme tzv. binární dělení, proces větvení, kdy každý jedinec má buď právě dva potomky s pravděpodobností , anebo nemá žádné potomky s pravděpodobností . Spočítejte střední hodnotu a rozptyl velikosti populace v -té generaci, pravděpodobnost vyhynutí, , a pravděpodobnost, že ve druhé generaci budou 2 jedinci.

Řešení

Pravděpodobnosti počtu potomků jsou tedy , ostatní jsou nulové. Nejprve spočítáme střední hodnotu, , a rozptyl, , počtu potomků:

Dosadíme do (6) a spočítáme střední hodnotu velikosti populace, . Rozptyl obdržíme dosazením do (8),

;

Dle (17) je pravděpodobnost vyhynutí , pokud . Pro ji nalezneme jako kořen rovnice . Pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu potomků je rovna . Kořen kvadratické rovnice , a tedy pravděpodobnost vyhynutí, je

Vytvořující funkce velikosti populace v nulté generaci je rovna , neboť . Dvojím použitím (15) postupně odvodíme vytvořující funkci pro velikost populace v první generaci a následně ve druhé generaci,

hledaná pravděpodobnost je rovna koeficientu u , tj. .

  1. Předpokládejme, že populace lidí je přibližně popsána procesem větvení. Jako jednotku velikosti populace uvažujme rodinu, přičemž pravděpodobnosti, že rodina nemá potomka, má jednoho potomka, resp. má dva potomky, jsou rovny , , resp. . Spočítejte pravděpodobnost vyhynutí populace. Dále uvažujte jednu zvolenou rodinu a sledujte její potomky a následovníky. Spočítejte střední hodnotu a rozptyl jejich počtu v následujících třech generacích a pravděpodobnost, že třetí generace následovníků této rodiny bude mít alespoň 5 zástupců.

Řešení

Spočítáme střední hodnotu, , a rozptyl, , počtu potomků:

Určíme pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu potomků,

Protože , určíme pravděpodobnost vyhynutí dle (17) jako kořen rovnice . Obdržíme , je tedy 50% pravděpodobnost, že modelovaná populace někdy vyhyne. Střední hodnotu a rozptyl velikosti populace následovníků zvolené rodiny v prvních třech generacích spočítáme dosazením do (6) a (8),

E ( X 1 ) = 1 , 2 ;  E ( X 2 ) = 1 , 44 E ( X 3 ) = 1 , 728 Var ( X 1 ) = 0 , 56 Var ( X 2 ) = 1 , 478 Var ( X 3 ) = 2 , 935

Vytvořující funkce velikosti populace v nulté generaci je rovna . Trojím použitím (15) postupně spočítáme vytvořující funkce , a velikosti populace následovníků rodiny až do třetí generace. Dostaneme

Hledanou pravděpodobnost získáme jako součet koeficientů polynomu u páté až osmé mocniny , .

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict