Úlohy k procvičení

1. Dům je postaven v místě, kde je v každém okamžiku během roku konstatní pravděpodobnost zasažení bleskem. Předpokládáme, že výskyty blesků jsou náhodné, pravděpodobnost výskytu blesku je každý den v roce stejná a průměrně dům zasáhne jeden blesk za měsíc. Dům byl zasažen bleskem právě dnes. Za kolik dnů bude s největší pravděpodobností dům zasažen následujícím bleskem?

Řešení

• Správná odpověď je zítra. Jedná se o příklad na inspection paradox. Intuice nám napovídá, že pravděpodobnost by se neměla měnit, vždyť pravděpodobnost výskytu blesku je dle zadání přece každý den v roce stejná. Ale není tomu tak, my totiž známe okamžik, kdy nastal poslední zásah blesku. Kdyby byla pravděpodobnost zasažení následujícím bleskem pro každý den stejná, znamenalo by to, že pravděpodobnost, že dům nebude zasažen dalším bleskem po dobu jednoho dne, by byla stejná, jako pravděpodobnost nezasažení dalším bleskem za dobu třeba deseti let. Přibližný výpočet nás o tom přesvědčí: pravděpodobnost, že následující blesk dům zasáhne hned zítra, je , pravděpodobnost zasažení následujícím bleskem pozítří je , atd., až např. za měsíc je rovna , pravděpodobnosti tedy klesají. Okamžiky zásahů blesků jsou příkladem Poissonova procesu jakožto procesu obnovy.

   

2. Letadlo má čtyři nezávisle pracující motory, délky jejich intervalů obnovy mají gama rozdělení s parametrem tvaru a střední hodnotou 100 h. Spočítejte pravděpodobnost, že 20h let bude přerušen přistáním z důvodu nefunkčnosti více než jednoho motoru.

Řešení

• Motory jsou na sobě nezávislé a k bezpečnému doletu musí po dobu 20 h fungovat alespoň 3 z nich. Pravděpodobnost, že motor bude bez poruchy pracovat alespoň 20 h je . Protože , musí být dle (Zákon malých čísel 14) intenzita rovna . Hodnotu funkce přežití pak spočítáme s pomocí distribuční funkce gama rozdělení (Zákon malých čísel 13), . Let bude dokončem, pokud budou pracovat 3, nebo 4 motory. Pravděpodobnost nedokončení letu je tedy rovna .

   

3. Pro provoz stroje nezbytná součástka má dobu života řídící se exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 20 h. Spočítejte pravděpodobnost, že stroj bude fungovat alespoň 1 den, když je k dispozici jedna náhradní součástka. Předpokládáme, že příp. výměna součástky je provedena okamžitě. Kolik náhradních součástek je nutno mít, aby byla celodenní funkčnost stroje zajištěna na alespoň 95 %?

Řešení

• Životnosti součástek jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení se střední hodnotou . Máme jednu náhradní součástku, může tedy nastat jedna porucha. Příp. druhá porucha (náhradní součástky) v čase nesmí nastat dříve, než za 24 h. Víme, že součet 2 nezávislých exponenciálních rozdělení se stejným parametrem má gama rozdělení s parametry a ; jeho funkci přežití označme . Počítáme pak pravděpodobnost .
  Označme dobu do poruchy -té součástky a má gama rozdělení s parametry a . Označme její funkci přežití ). Abychom zaručili celodenní funkčnost stroje na alespoň
  95 %, potřebujeme nalézt takový nejmenší počet součástek , aby . Zjistíme, že: . Poslední pravděpodobnost již překračuje 95 %, jsou potřeba alespoň 4 součástky, tedy alespoň 3 náhradní.

4. Doba do poruchy stroje je náhodná veličina s Weibullovým rozdělením pravděpodobnosti s parametry a . Spočítejte střední hodnotu a rozptyl doby do poruchy. Dále uvažujte 100 takových strojů pracujících nezávisle na sobě. Spočítejte střední hodnotu a rozptyl počtu porouchaných strojů po 50 h provozu.

Řešení

• Dosadíme do (14) a (15), přičemž využijeme vztahů a , a dostaneme a . Stroj je v čase porouchaný, pokud první porucha nastala v čase . Pomocí (13) je pravděpodobnost toho, že stroj je po 50 h provozu porouchaný: 

  Strojů je celkem a každý z nich je porouchaný s pravděpodobností . Počet porouchaných strojů je tedy náhodnou veličinou s binomickým rozdělením. Využijeme (Zákon malých čísel 1), (Zákon malých čísel 2) a (Zákon malých čísel 3) a dostáváme střední hodnotu a rozptyl počtu porouchaných strojů.