Funkce přežití a riziková funkce

Označme distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti délek intervalů obnovy, tzn. náhodných veličin , které jsou nsr. Často se ukazuje výhodnější pracovat s doplňkem distribuční funkce, kterým je funkce přežití (survivor function) ,

(3)

která udává pravděpodobnost, že pozorovaná událost do času nenastala. V technické praxi je tato funkce nazývána funkcí spolehlivosti (reliability functi-on). Pomocí vlastností distribuční funkce lehce odvodíme vlastnosti funkce přežití délek intervalů obnovy: je nerostoucí a platí pro ni . Analogicky vztahu distribuční funkce a hustoty pravděpodobnosti dále platí

(4)

Ekvivalentně k hustotě lze použít tzv. rizikovou funkci (hazard rate) , v technické praxi (kde sledovanými událostmi jsou poruchy přístrojů) nazývanou age-specific failure rate. Riziková funkce je definována jako hustota pravděpodobnosti toho, že událost nastane v intervalu za podmínky, že do času nenastala, což v řeči délky prvního intervalu obnovy zapisujeme ve tvaru

(5)

Rozepsáním definice podmíněné pravděpodobnosti v čitateli dále dostáváme

(6)

Spojením (4) a (6) dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu pro ,

jejímž řešením je

(7)

Derivací toho vztahu pro funkci přežití obdržíme vyjádření hustoty pravděpodobnosti délek intervalů obnovy pomocí rizikové funkce ,

(8)

Na závěr si všimneme velmi důležité vlastnosti, která plyne z výše uvedených vztahů mezi distribuční funkcí, funkcí přežití, rizikovou funkcí a hustotou pravděpodobnosti délek intervalů obnovy. Podle (8) je riziková funkce konstantní právě tehdy, když hustota je tvaru pro , tzn. právě tehdy, když intervaly obnovy mají exponenciální rozdělení pravděpodobnosti, tedy když je Poissonův proces. Jinými slovy, Poissonův proces je jediný proces obnovy, pro nějž je riziková funkce konstantní. Této vlastnosti bývá využíváno k předběžnému ověření poissonovského charakteru dat.