Definice procesu obnovy

Proces obnovy je zobecněním Poissonova procesu. Jak již víme, Poissonův proces je markovský proces se spojitým časem a množinou stavů tvořenou nezápornými celými čísly, v němž časy mezi příchody po sobě následujících událostí jsou nsr náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením. Proces obnovy definujeme podobně, jen časy mezi událostmi mohou mít obecně libovolné rozdělení pravděpodobnosti, při zachování podmínky nsr. Náš výklad opřeme především o zdroje [2, 4].

Nechť je posloupnost kladných n} náhodných veličin s konečnými středními hodnotami. Náhodná veličina udává délku časového intervalu mezi -ní a -tou událostí, je čas do příchodu první události. Pro definujme čas příchodu té události,

(1)

Stochastický proces , kde 

(2)

se nazývá proces obnovy (renewal process) a udává počet událostí, které nastaly do času (včetně). Symbolem značíme tzv. indikátorovou funkci, která nabývá hodnoty , pokud jev nastal, jinak je rovna . Intervaly jsou nazývány intervaly obnovy (renewal intervals). 

V technické praxi je čas obvykle interpretován jako doba do -té poruchy přístroje od poslední poruchy. To samozřejmě za předpokladu, že přístroj je při -ní poruše okamžitě opraven. Časy zaznamenávají okamžiky poruch přístroje a proces obnovy zaznamenává kolikrát se přístroj porouchal (a byl opraven) do času . V biologii a medicínských vědách události často označují progrese (či relapsy) sledovaných onemocnění.