Úlohy k procvičení

1. Uvažujte dva stochasticky nezávislé Poissonovy procesy, s intenzitami . Dokažte, že náhodný proces , kde , je Poissonovým procesem s intenzitou .

Řešení

• Výpočtem ověříme vlastnosti (i), (ii), vlastnost (iii) je splněna triviálně díky vzájemné nezávislosti procesů. Počítáme pravděpodobnost, že přírůstek procesu bude rovný nule. Využijeme přitom toho, že oba dílčí procesy jsou Poissonovské:

  Přirůstek je rovný jedné, právě když jeden z procesů má přírůstek rovný jedné a druhý rovný nule,

2. Počet vozidel projíždějících v čase mýtnou branou na dálnici tvoří Poissonův proces s intenzitou . Pravděpodobnost, že vozidlo je osobní, je rovna . Dokažte, že náhodný proces, udávající počty osobních vozidel, které v čase projedou mýtnou branou je Poissonovým procesem s intenzitou .

Řešení

• Označme počty vozidel v čase   a počty osobních vozidel v čase . Na základě toho, že je Poissonův proces, ověříme vlastnosti (i), (ii) pro proces . Využijeme i toho, že charakter vozidla není závislý na čase průjezdu mýtnou branou. Přírůstek počtu osobních aut bude rovný nule, pokud za sledovanou dobu neprojede žádné auto, nebo projede jedno nákladní,

  Podobně, přírůstek počtu osobních aut bude rovný jedné, pokud projede jedno auto a to bude osobní,

  Vlastnost (iii) je splněna díky Poissonovskému charakteru počtu vozidel a jeho nezávislosti na typu vozidla.

3. (Podle [6]) Voda v nádrži je kontaminována bakterií, která se vyskytuje náhodně, průměrně v počtu jedné bakterie v 10 l vody. Když človek vypije 1 l této vody denně, jaká je pravděpodobnost, že během týdne vypije alespoň jednu bakterii?

Řešení

• Označme počet bakterií, které člověk vypije za dobu dnů. Vzhledem k náhodnému rozmístění bakterií v nádrži a zároveň nízké pravděpodobnosti výskytu více než jedné bakterie v denním objemu vypité vody považujeme za Poissonův proces. Jeho intenzita je rovna , neboť za jeden den (námi zvolená jednotka) člověk průměrně vypije bakterie (v 1 l vody). Pomocí pravděpodobnostní funkce (4) spočítáme
   

  Dostáváme tak pravděpodobnost .