Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datVybrané kapitoly z matematického modelování Zobecnění Poissonova procesu Úlohy k procvičení

Logo Matematická biologie

Úlohy k procvičení

  1. Uvažujte nehomogenní Poissonův proces s intenzitou

    Spočítejte pravděpodobnost, že mezi časy 1,25 a 3,00 nastanou alespoň 2 události.

Řešení

  • Pravděpodobnost vyjádříme pomocí opačného jevu a poté využijeme (1):

    Střední počet událostí v intervalu je totiž dle (3) rovný
     

  1. Uvažujte nehomogenní Poissonův proces s intenzitou
    Spočítejte pravděpodobnost, že 6. událost nastane později než včase 5, podmíněnou tím, že 5. událost nastala
    v čase 2.

Řešení

  • Uvedenému podmíněnému jevu odpovídá situace, kdy za dobu od 2 do 5 nepřijde žádná událost. Střední počet událostí v intervalu je dle (3) rovný

     

    Během sledovaného intervalu tedy očekáváme výskyt 10 událostí, požadovaná pravděpodobnost nenastání žádné události by proto měla být velmi malá. To ověříme výpočtem podle (1) a obdržíme
     

     

  1. Uvažujte homogenní Poissonův proces s intenzitou v 3dimenzionálním prostoru. Dokažte, že vzdálenost od počátku k nejbližšímu bodu tohoto procesu má pro hustotu a distribuční funkci . Podle zadání příkladu Pp. 3 poté spočítejte pravděpodobnost, že vzdálenost od jedné bakterie k nejbližší jiné bakterii v nádrži je větší než 10 cm.

 

Řešení

  • Při důkazu se postupuje zcela analogicky odvození pro vzdálenost v Poissonovském lese, jen místo kruhu uvažujeme kouli o poloměru , tzn. o objemu .
    Z řešení příkladu Pp. 3 víme, že v 1 l vody je průměrně bakterií, tzn. že střední počet bakterií v 1 cm vody je bakterií, což odpovídá intenzitě pro Poissonův proces v prostoru, . Dále s pomocí distribuční funkce spočítáme požadovanou pravděpodobnost,
     

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict