Neparametrický test pro dva výběry (Mannův-Whitneyho test)

Mannův-Whitneyho test je neparametrickou alternativou -testu pro dva výběry ve chvíli, kdy není splněn některý z jeho předpokladů, respektive máme-li o platnosti některého z jeho předpokladů pochyby. Nulová hypotéza Mannova-Whitneyho testu není zaměřena na střední hodnoty, ale místo toho předpokládáme stejné rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny v obou souborech, což je slabší předpoklad než normalita dat. Nulová hypotéza se tak týká srovnatelnosti dvou distribučních funkcí, kterou zapíšeme jako

Mějme realizaci prvního náhodného výběru o rozsahu  : , a na ní nezávislou realizaci druhého náhodného výběru o rozsahu : _. Pointa výpočtu Mannova-Whitneyho testu je následující: pokud pozorování a pochází ze stejného rozdělení pravděpodobnosti, pak by pravděpodobnost toho, že náhodně vybraná hodnota bude větší než náhodně vybraná hodnota měla být 50 %. To je ekvivalentní tomu, že při srovnání všech dostupných dvojic a bude v případě cca 50 % těchto dvojic větší hodnota a naopak.

Pro výpočet nejprve seřadíme všechna pozorování od nejmenšího po největší tak, jako by byly z jednoho vzorku, a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí. Symbolem označíme součet pořadí hodnot příslušných první skupině. Testovými statistikami pak jsou statistiky a , definované jako

Pro rozhodnutí o platnosti nulové hypotézy srovnáme větší z hodnot a s kritickou hodnotou z tabulek (v případě oboustranného testu). Je-li kritická hodnota menší, zamítáme. Pro jednostranný test uvažujeme dle nulové hypotézy pouze buď statistiku nebo . Pro výběrové soubory o velikosti a zároveň lze rozdělení pravděpodobnosti testové statistiky aproximovat normálním rozdělením s charakteristikami

což znamená, že pro ověření nulové hypotézy lze dosadit uvedené hodnoty do statistiky a její realizaci srovnat s příslušným kvantilem standardizovaného normálního rozdělení .

Příklad 5. Opět uvažujme dvě skupiny dětí s hypotyreózou z příkladu 4. První skupina jsou děti s mírnými symptomy, druhá skupina jsou děti s výraznými symptomy, naším cílem je srovnat u těchto dvou skupin hladinu tyroxinu v séru. -test pro dva výběry není pro tento účel vhodný, neboť obě skupiny vykazují různý rozptyl sledované náhodné veličiny. Seřadíme-li všechna pozorování podle velikosti a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí, dojdeme k tomu, že součet pořadí v první skupině, tedy hodnota statistiky , je roven 84,5. Toto číslo dosadíme do vztahu (28) a vypočteme

Jako realizace testové statistiky slouží větší z vypočtených a , tedy číslo 39,5, které srovnáme s kritickou hodnotou ze statistických tabulek příslušnou hladině významnosti testu . Vzhledem k tomu, že platí

nezamítáme nulovou hypotézu o shodě distribučních funkcí, z nichž pochází měření tyroxinu v séru u dvou skupin dětí s hypotyreózou. Tento výsledek je na první pohled relativně překvapivý, nicméně je třeba si uvědomit, že oba výběrové soubory jsou velmi malé a test tak zřejmě nemá dostatečnou sílu na to, aby odhalil rozdíl v hodnotách tyroxinu mezi oběma skupinami.