Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Aplikovaná analýza klinických a biologických datAnalýza a management dat pro zdravotnické obory, Analýza klinických dat Bodové a intervalové odhady Intervalové odhady Konstrukce intervalů spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení

Logo Matematická biologie

Konstrukce intervalů spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení

V této části kapitoly odvodíme intervaly spolehlivosti jak pro oba parametry normálního rozdělení, a .

Konstrukce intervalu spolehlivosti pro parametr

Mějme náhodný výběr z normálního rozdělení pravděpodobnosti, tedy předpokládejme, že platí . Nejprve budeme uvažovat situaci, kdy hodnotu známe. Úpravou vztahu (17) pak dostáváme:

1 - α = P ( - σ n z 1 - α / 2 X ¯ - μ σ n z 1 - α / 2 ) = P ( X ¯ - σ n z 1 - α / 2 μ X ¯ + σ n z 1 - α / 2 ) .

(6)

Vidíme, že jsme s pomocí pravděpodobnosti a známých kvantit vypočítali dolní a horní mez, které zdola a shora omezují neznámý parametr . Správně bychom řekli, že interval spolehlivosti představuje oblast, která s pravděpodobností pokrývá neznámý parametr . interval spolehlivosti pro parametr má tedy tvar

.

(7)

Výraz   jsme již dříve definovali jako standardní chybu výběrového průměru (viz vzorec (4)), proto   interval spolehlivosti pro parametr můžeme ještě vyjádřit v alternativní formě jako

interval spolehlivosti pro .

(8)

Výše uvedené jsme odvozovali za předpokladu, že známe přesnou hodnotu parametru , což je však z praktického hlediska značně omezující (reálným příkladem však může být intervalový odhad střední hodnoty pro data měřená přístrojem s kalibrovanou a tudíž známou přesností). Ve chvíli, kdy neznáme hodnotu parametru , musíme pro konstrukci intervalu spolehlivosti použít jinou statistiku než , s jiným rozdělením pravděpodobnosti. Logické by bylo místo směrodatné odchylky, , použít výběrovou směrodatnou odchylku, , nicméně tato náhrada není úplně jednoduchá, nejedná se o pouhé dosazení za . Pomůžeme si vztahem, který definuje statistiku se Studentovým rozdělením. Statistika vypadá stejně jako statistika , jen namísto směrodatné odchylky, , obsahuje výběrovou směrodatnou odchylku, . To je přesně to, čeho jsme chtěli dosáhnout. Je však důležité si uvědomit, že statistika má jiné rozdělení pravděpodobnosti než , tedy i jinou kvantilovou funkci. Stejnými úpravami jako v případě intervalu spolehlivosti pro parametr při známém dostaneme interval spolehlivosti pro parametr při neznámém ve tvaru:

,

(9)

kde a jsou , respektive , kvantily Studentova rozdělení s stupni volnosti.

Příklad 2. Chceme sestrojit 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu systolického tlaku studentů vysokých škol. Na vzorku =100 náhodně vybraných studentů byl výběrový průměr systolického tlaku roven hodnotě 123,4 mm Hg s výběrovou směrodatnou odchylkou
= 14,0 mm Hg. Kromě těchto hodnot je třeba k výpočtu 95% intervalu spolehlivosti ještě hodnota kvantilu rozdělení příslušného hladině = 0,05 a = 99 stupňům volnosti. V tabulkách nebo příslušném software najdeme, že (99)=1,98. Dosazením do vzorce (9) získáme

,

(10)

což znamená, že 95% intervalem spolehlivosti pro střední hodnotu systolického tlaku studentů vysokých škol je interval (120,6 mm Hg; 126,2 mm Hg). Můžeme tedy říci, že s pravděpodobností 95 % interval (120,6 mm Hg; 126,2 mm Hg) pokrývá neznámou střední hodnotu systolického tlaku studentů vysokých škol.

Konstrukce intervalu spolehlivosti pro parametr

Opět předpokládejme náhodný výběr z normálního rozdělení pravděpodobnosti, tedy . Pro konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametr použijeme vzorec využívající chí-kvadrát rozdělení, kde je procentní kvantil chí-kvadrát rozdělení s stupni volnosti:

1 - α = P ( χ α / 2 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) s 2 1 σ 2 χ 1 - α 2 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) s 2 ) = P ( ( n - 1 ) s 2 χ 1 - α / 2 2 ( n - 1 ) σ 2 ( n - 1 ) s 2 χ α / 2 2 ( n - 1 ) ) .

(11)

interval spolehlivosti pro parametr má tedy tvar

.

(12)

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict