Matematické modelování je současné době nedílnou součástí různých oborů přírodních, technických, ekonomických i sociálních věd a důležitým nástrojem při modelování a simulacích systémů, analýzách a předvídání různých jejich procesů, jevů, chování druhů a stavů společenstev. Při jeho využívání se používají současné informační a komunikační technologie (ICT), zejména pak aplikační matematický software (např. Maple, Matlab apod.). Termínem matematické modelování se také označuje vytváření a analýza postupů, které využívají matematické prostředky a struktury pro hlubší pochopení a ovlivňování reálných procesů, jevů, stavů a principů. Matematické modelování se dnes stalo jakousi křižovatkou věd. Využívají se v něm různé oblasti matematiky jak navzájem (matematická analýza, numerická matematika, lineární algebra, geometrie, diskrétní matematika apod.), tak zejména s jinými vědami, jako jsou biologie, chemie, fyzika, geologie, materiálová věda, a samozřejmě s aplikovanými disciplínami, jako jsou inženýrství všeho druhu či ekonomie. Přibývají stále úspěšné aplikace matematického modelování a vědci řeší nové a ještě obtížnější výzvy v poznání světa. To má nezastupitelný význam jak pro matematiku samotnou, tak i pro její aplikace, a tedy i pro celou společnost. Matematické modelování s využitím ICT (výpočetní věda) se stává prostředkem poznání i relativně levnou technologií. Doplňuje dostupné experimenty nebo nahrazuje experimenty technicky, ekonomicky, či eticky neproveditelné v reálném světě. Umožňuje predikce nebo naopak pohledy do dávné minulosti překlenujíce milióny let. Zprostředkovává nebo doplňuje pohledy do nedostupných hlubin Země či dalekých mimozemských objektů, nebo naopak mikro- či nano-objektů třeba elektroniky, moderních materiálů či živých buněk a genofondu. Umožňuje výpočet kvantitativní citlivosti na změnu dat (což je v reálných systémech zpravidla neproveditelné), a pak v počítačové simulaci vybrat nejlepší řešení vyzkoušením velkého množství situací efektivním způsobem (tzv. optimalizace, optimální návrh, či optimální řízení).

Abychom mohli použít matematiku ke studiu živých objektů, musíme si nejprve ujasnit, s jakými problémy nám matematika může pomoci. Chceme-li studovat populaci divokých koček na venkově, napadne nás spousta otázek. Čím se kočky živí? Jak rychle reagují kočky na kořist? Kolik je koček v daném regionu? Atd. Najít odpověď na podobné otázky vyžaduje spoustu pozorování, experimentů a studia biologické literatury. To samozřejmě platí i pro další biologické systémy – chceme-li přispět matematikou k pochopení biologie, musíme se nejprve naučit biologii! A i když se nakonec biologii naučíme, vystačíme mnohdy jen se slovní popisnou odpovědí. Například pozorováním zodpovíme naši poslední otázku větou, že v zkoumaném regionu žije přibližně 100 divokých koček. Na druhou stranu, ptáme-li se, kolik bude koček za rok, za deset let nebo za sto let, pak s pouhým pozorováním nevystačíme a můžeme začít zapojovat své matematické znalosti. Podobné otázky o budoucnosti populace nemusíme klást jen pro populaci koček, ale pro jakoukoliv skupinu jedinců, zvířat či rostlin. Studujeme-li například rostoucí zhoubný nádor, zajímá nás kolik buněk bude nádor obsahovat v budoucnosti. Bojujeme-li s epidemií chřipky, zajímá nás například vývoj počtu nakažených lidí apod. Situace je však ještě složitější.

Doposud jsme uvažovali modely, které zatím popisovaly jeden živočišný druh. Většinou ovšem spolu v přírodě žije mnoho různých druhů pohromadě, které spolu soupeří o potravu, o prostor, o přežití. Uvažujme například les, ve kterém žijí lišky a zajíci, a zjednodušme si situaci tím, že lišky žerou jenom zajíce a zajíci mají trávy vždycky dost. Pak si můžeme slovně popsat dynamiku tohoto systému takto: Pokud je v lese hodně zajíců, začnou se množit lišky, neboť mají dost potravy. Tím, že se začali množit lišky, začnou ubývat zajíci. Tím, že začali ubývat zajíci, nemají lišky co žrát a začne jejich počet klesat. Tím, že klesá počet lišek, začne zase přibývat zajíců, neboť je nemá kdo lovit. Tím, že je hodně zajíců, začne se opět po čase zvyšovat počet lišek atd. Shrnuto, počty zajíců a lišek budou patrně oscilovat. Samozřejmě, že bychom teď mohli po studiu relevantní biologické literatury napsat model pro takový ekosystém a jako správní matematičtí biologové bychom dokázali odhalit podobné oscilatorní chování. K nalezení odpovědí nám může matematické modelování pomoci.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity