Základní pojmy
V teorii množin bude používat následující symboliku:
množiny | |
prvky | |
prvek množiny | |
pro libovolné platí | |
existuje tak, že platí | |
existuje právě jedno tak, že platí | |
konjunkce, disjunkce, negace | |
průnik, sjednocení | |
implikace, ekvivalence | |
sumace, multiplikace |
Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
Množina v naivní teorii množin je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny. (definice podle G. Cantora)
Skutečnost, že je prvkem množiny značíme . Skutečnost, že není prvkem množiny značíme . Prvky množiny lze zadat buďto výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí splňovat.
Pro označení některých často používaných množin budeme v textu používat následující symboly:
- množina přirozených čísel, tj. 1, 2, 3,... Číslo 0 do množiny přirozených čísel nepatří. | |
- množina celých čísel, tj. přirozená čísla, 0 a všechna čísla opačná k přirozeným číslům. | |
- racionální čísla, tj. čísla, která se dají vyjádřit ve tvaru , kde a | |
- reálná čísla, tj. všechny čísla, která lze znázornit na číselné ose. | |
- komplexní čísla, tj. všechny uspořádané dvojice reálných čísel. |
Platí, že
Příklad: Zapište množinu, která obsahuje čísla 1 až 5:
Prázdná množina je taková množina, která neobsahuje žádné prvky. Značíme ji symbolem , případně . Zápis neoznačuje prázdnou množinu, ale jednoprvkovou množinu, jejíž jediným prvkem je prázdná množina.
Počet prvků množiny někdy označujeme slovem mohutnost či kardinalita a značíme jej , kde je množina. Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná.
Dvě množiny nazveme disjunktní právě tehdy, když mají prázdný průnik .
Množiny a se rovnají, zapisujeme , právě tehdy, když každý prvek množiny je prvkem množiny a současně každý prvek množiny je prvkem množiny .
Nechť a jsou množiny. Řekneme, že je podmnožinou množiny , značíme , právě když platí , tj. libovolný prvek množiny je současně i prvkem množiny . Vztah být podmnožinou nazýváme také inkluze (negací je exkluze).
Množinová inkluze definuje relaci uspořádání, protože platí:
reflexivita | |
antisymetrie | |
antisymetrie |
Nechť je množina. Množinu všech podmnožin množiny nazýváme potenční množina množiny a značíme , někdy též .
Ukázky potenčních množin:
Příklad: Kolik prvků má potenční množina n-prvkové množiny?
Otázku můžeme přeformulovat na "kolik různých podmnožin má n-prvkové množina?" Protože každá z podmnožin je jednoznačně určená svými prvky, je počet podmnožin roven počtu všech kombinací prvků množiny. Každý prvek má přitom dvě možnosti - buďto v dané množině je, nebo ne. Ke dvěma možnostem prvního prvku přibudou dvě možnosti druhého prvku, ke každé z výsledných čtyř možností pak přibudou dvě možnosti třetího prvku, atd. Celkem tedy . Platí tedy že .