Kartézský součin

Jsou dány množiny , . Kartézským součinem rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic takových, že první prvek uspořádané dvojice je prvkem množiny  a druhý prvek uspořádané dvojice je prvek množiny . Formálně zapisujeme:

Kartézský součin obecně není komutativní. A to proto, že v uspořádané dvojici záleží na pořadí prvků. Pro tedy platí, že . Jestliže a , pak .

Příklad: Určete kartézské součiny množin a

Řešení

Oba kartézské součiny jsou stejně mohutné (díky komutativitě násobení), obsahují však dvojice s prvky v opačném pořadí.

Pro kartézský součin platí následující distributivní zákony:

Pro prázdnou množinu platí v kartézském součinu následující pravidla, která vyplývají přímo z definice kartézského součinu a ze skutečnosti, že prázdná množina neobsahuje žádné prvky. , kde  je libovolná množina. Speciálně pro tedy dostáváme .

V případě, kdy a tvoříme tak kartézský součin množiny se sebou samou, hovoříme o kartézské mocnině, kterou značíme . Analogicky jako u číselných mocnin můžeme exponent rozšířit i na jiná přirozená čísla než 2. Kartézská množina množiny  je definována induktivně:

Pokud bychom se chtěli držet čistě formálního značení, pak by , tedy  Zápis  však můžeme bez újmy na obecnosti zjednodušit na  a nazvat uspořádanou trojicí.

Pro kartézský součin více množin využijeme pojem uspořádaná n-tice, který tvoří zobecnění pojmu uspořádaná trojice, který byl zaveden v předchozím odstavci. Přesná formální definice uspořádané n-tice je zobecněním množinového pojetí uspořádané dvojice. Nám však bude stačit definovat uspořádanou dvojici jako objekt typu , kde nám záleží na pořadí prvků.

Kartézský součin n množin pak definujeme jako množinu všech uspořádaných n-tic, kde i-tý prvek každé n-tice je prvkem i-té množiny. Formálně zapsáno:

Pro kartézský součin více množin zavádíme zápis podobný symbolům Σ a Π pro sumaci a multiplikaci:

Příklad: Určete kartézský součin , kde množiny jsou A = {#}, B = {1, 2} a C = {x, y}

Řešení