Testy o střední hodnotě při známém rozptylu (z-test pro jeden výběr)

Cílem z-testu pro jeden výběr je testovat hypotézu, zda data náhodného výběru pochází z rozdělení se stejnou střední hodnotou, jako je předpokládaná hodnota μ₀ (konstanta). Vycházíme z realizace náhodného výběru o rozsahu n: x₁, x₂, …, x_n, o kterém předpokládáme, že pochází z normálního rozdělení. Předpokládáme tedy, že platí X_i ~ N(μ,σ²). Dále předpokládáme, že známe hodnotu parametru σ². Oba tyto předpoklady jsou velmi silné (a v biologické či klinické praxi téměř nereálné), neboť to znamená, že téměř přesně známe pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X. Nulová hypotéza a příslušné alternativní hypotézy (oboustranná a jednostranné) pak mají následující tvar

(7.1)

Výběrovou charakteristikou, která hraje v z-testu hlavní roli je samozřejmě výběrový průměr. Víme totiž, že za platnosti H₀ má výběrový průměr také normální rozdělení, z čehož plyne, že testová statistika Z, kterou dostaneme z výběrového průměru standardizací, má standardizované normální rozdělení:

(7.2)

Pokud nulová hypotéza platí, statistika Z se bude realizovat v hodnotách běžných pro rozdělení N(0,1), a naopak, neplatí-li nulová hypotéza, statistika Z se bude realizovat v hodnotách, které nejsou pro standardizované normální rozdělení běžné. Nulovou hypotézu tak zamítáme na hladině významnosti α ve chvíli, kdy výsledná hodnota statistiky Z je větší (nebo menší, v závislosti na předem zvolené alternativě) než příslušný kvantil (kritická hodnota) rozdělení N(0,1). Co znamená realizace statistiky v běžných hodnotách, bylo blíže rozebráno v kapitole Úvod do testování hypotéz, v případě oboustranného testu na hladině významnosti α by se měla testová statistika Z pohybovat mezi kvantily z_α/2 a z_1-α/2, což pro α = 0,05 jsou hodnoty -1,96 a 1,96. Bude-li se statistika Z realizovat mimo tento interval, zamítáme nulovou hypotézu (na hladině významnosti α = 0,05, samozřejmě). Vzhledem k symetrii kvantilů rozdělení N(0,1) lze pravidlo pro zamítnutí H₀ pro oboustrannou alternativu u z-testu zjednodušit na vyjádření, kdy absolutní hodnota statistiky Z překročí hodnotu kvantilu z_1-α/2, tedy . Souhrnně jsou pravidla pro zamítnutí nulové hypotézy pro z-test pro jeden výběr dle zvolené alternativy uvedena v tabulce 7.1. Příklad na výpočet z-testu pro jeden výběr byl uveden v kapitole Úvod do testování hypotéz, viz Statistický test.

Tab. 7.1: Pravidla pro zamítnutí H₀ pro z-test pro jeden výběr dle zvolené alternativy.

Alternativa		→ Zamítáme H0, když
Alternativa		→ Zamítáme H0, když
Alternativa		→ Zamítáme H0, když