Test pro podíl u jednoho výběru
Pointou testu pro podíl u jednoho výběru je stejně jako v případě jiných testů pro jeden výběr ověření rovnosti odhadu parametru π s předem danou hodnotou π0. Vycházíme z realizace binomické náhodné veličiny X s parametry n a π, respektive z její transformace X / n, kterou značíme p. Nulová hypotéza a příslušné alternativní hypotézy (oboustranná a jednostranné) pak mají následující tvar
|
|
|
|
|
(9.10) |
Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením víme, že platí vztah (9.4), což za platnosti H0 znamená, že
|
|
(9.11) |
Nulovou hypotézu pak zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná hodnota statistiky Z (v případě oboustranné alternativy absolutní hodnota statistiky Z) je větší (nebo menší) než příslušný kvantil rozdělení standardizovaného normálního rozdělení N(0,1). Výraz větší nebo menší závisí na předem zvolené alternativě, příslušné možnosti jsou shrnuty v tabulce 9.1.
Tab. 9.1: Pravidla pro zamítnutí H0 pro test pro podíl u jednoho výběru dle zvolené alternativy.
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
| Alternativa |
|
→ Zamítáme H0, když |
|
Příklad 9.2. Na hladině významnosti α = 0,05 chceme testovat rovnost odhadu parametru π získaného na výběru 60 matematických biologů předem dané hodnotě π0 = 0,4, jinými slovy chceme testovat, zda je podíl matematických biologů s modrýma očima roven 0,4. Splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením bylo ověřeno v příkladu 9.1. Specifikace nulové a alternativní hypotézy je následující
(9.12) Pro provedení testu a rozhodnutí o platnosti H0 vypočteme testovou statistiku Z danou vztahem (9.11):
(9.13) Vzhledem k oboustranné alternativě srovnáme absolutní hodnotu realizace testové statistiky, číslo 1,85, s 97,5% kvantilem standardizovaného normálního rozdělení, což je hodnota 1,96. V souladu s tabulkou 9. platí, že
(9.14) což znamená, že nezamítáme H0 na hladině významnosti α = 0,05. Jinými slovy, na hladině významnosti α = 0,05 nezamítáme hypotézu o tom, že podíl matematických biologů s modrýma očima je roven 0,4.
Na příkladech 9.1 a 9.2 lze demonstrovat další rozdíl v testování hypotéz o spojitých veličinách a testování hypotéz o podílech. V kapitole Testování hypotéz o kvantitativních proměnných jsme na příkladu spojité náhodné veličiny ukázali, že existuje spojení mezi testováním hypotéz a konstrukcí intervalů spolehlivosti. Toto spojení však neplatí obecně, klasickým příkladem oblasti, kde tato ekvivalence neplatí, je právě testování hypotéz o podílech. Příklady 9.1 a 9.2 nám totiž dávají protichůdné závěry. V příkladu 9.1 jsme pomocí 95% intervalu spolehlivosti odhadli, že skutečná hodnota parametru π je pokryta intervalem (0,169; 0,397) a je tedy nižší než hodnota 0,4, na druhou stranu v příkladu 9.2 jsme možnost π = 0,4 nevyloučili. Rozdíl v závěrech způsobil fakt, že binomické rozdělení má různý rozptyl pro různé hodnoty π. Největší rozptyl dostaneme pro π = 0,5, směrem k hodnotám 0 a 1 pak rozptyl binomické náhodné veličiny klesá. Pro konstrukci 95% intervalu spolehlivosti jsme ve výpočtu SE(p) za odhad parametru π vzali bodový odhad π, zatímco v testu jsme ve výpočtu SE(p) použili hodnotu danou H0, tedy hodnotu π0, což jsou však dvě různá čísla, která ve výsledku vedou k různým závěrům. V praxi bychom se měli vždy řídit hlavním cílem naší studie nebo experimentu. Je-li tedy naším cílem zkonstruovat intervalový odhad pro sledovaný parametr, měli bychom použít vzorec pro sestrojení intervalu spolehlivosti, a naopak, je-li naším cílem testovat pozorovanou hodnotu podílu proti předpokládané hodnotě π0, měli bychom použít test.
