Testování hypotéz o podílech

Nejjednodušší formou kvalitativní náhodné veličiny je alternativní (binární) náhodná veličina, nabývající pouze dvou hodnot, např. 0 a 1. Nezávislá opakování alternativní náhodné veličiny pak vedou k binomické náhodné veličině, která je logicky v medicíně i biologii relativně častá, neboť popisuje situace, kdy sledujeme např. výskyt nějaké vlastnosti v dané populaci pacientů nebo výskyt živočišného druhu na daných lokalitách. Hodnocení binomické veličiny vede na tzv. testování hypotéz o podílech, kdy naším cílem je hodnocení tvrzení o parametru π binomického rozdělení, který odpovídá pravděpodobnosti výskytu uvažované vlastnosti ve sledované populaci. Kromě bodového odhadu parametru π nás tedy může zajímat následující:

• Konstrukce intervalu spolehlivosti pro parametr π
• Test o parametru π proti konstantě π₀
• Test o parametru π ve dvou souborech

Při rozhodování o parametru π vycházíme z náhodné veličiny X s binomickým rozdělením pravděpodobnosti, která reprezentuje počet výskytů sledované vlastnosti (úspěchů) v posloupnosti n nezávislých experimentů (subjektů). Nás však zajímá pravděpodobnost výskytu, proto budeme uvažovat transformovanou náhodnou veličinu X / n. Její realizaci značíme malým p s tím, že se vlastně jedná o odhad parametru π, tedy

(9.1)

Odhad p má jako transformovaná náhodná veličina také svoje rozdělení pravděpodobnosti, kterému odpovídají následující charakteristiky

(9.2)

Obecně je rozdělení pravděpodobnosti binomické náhodné veličiny jednoznačně dáno pravděpodobnostní funkcí, jejíž výpočet je však pro větší počet nezávislých experimentů, n, nepraktický. V praxi se pro aproximaci rozdělení pravděpodobnosti binomické náhodné veličiny používá normální rozdělení, což nám umožňuje platnost centrální limitní věty. Pouze pro připomenutí, centrální limitní věta platí pro součet n nezávislých, stejně rozdělených náhodných veličin (samozřejmě pro n jdoucí do nekonečna), což je zde splněno, neboť binomická náhodná veličina je součtem n nezávislých náhodných veličin s alternativním rozdělením. Aproximace však neplatí paušálně, podmínkou dobré aproximace normálním rozdělením je hodnota součinu np(1 – p) větší než 5, nebo ještě lépe hodnota součinu np(1 – p) větší než 10. Tato podmínka souvisí s množstvím informace nutné pro dosažení přibližného tvaru normálního rozdělení, tedy s množstvím informace nutné pro přesnost aproximace. Je-li podmínka dobré aproximace splněna, pak pro náhodnou veličinu Z jako transformaci X platí

(9.3)

zatímco pro Z jako transformaci p, respektive X / n platí

(9.4)