Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Aplikovaná analýza klinických a biologických datBiostatistika pro matematickou biologii Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Standardizované normální rozdělení

Logo Matematická biologie

Standardizované normální rozdělení

Mezi výhodné vlastnosti normálního rozdělení patří zachování normality při změně měřítka osy, na které měříme jednotky náhodné veličiny X. Jinými slovy, pokud veličinu X s rozdělením N(µ,σ2) transformujeme podle vztahu Y = a + bX, pak platí, že náhodná veličina Y má rozdělení pravděpodobnosti N(a + bµ, b2σ2). S využitím této vlastnosti jsme vždy schopni transformovat náhodnou veličinu X s rozdělením N(µ,σ2) na náhodnou veličinu Z s rozdělením N(0,1), tedy s normálním rozdělením s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem. Platí

(4.12)

Toto rozdělení má ve statistice výsadní postavení a označuje se jako standardizované normální rozdělení (standard normal distribution). Jeho hustota pak má následující tvar:

(4.13)

Výhoda je, že všechny hodnoty distribuční i kvantilové funkce jsou tabelovány a obsaženy v dostupných softwarech (kvantily standardizovaného normálního rozdělení se označují jako z). Můžeme tak jednoduše kvantifikovat pravděpodobnost, s jakou se náhodná veličina Z se standardizovaným normálním rozdělením realizuje nad určitou hodnotou z (případně pod ní, nebo mezi dvěma danými hodnotami). Obecně lze plochu pod hustotou rozdělit pomocí kvantilu na dvě části, např. pomocí 100(1 – α)procentního kvantilu, označme ho z1-α, na část s plochou 1 – α a na část s plochou α (viz obrázek 4.2). Toto dělení samozřejmě odpovídá pravděpodobnosti, tedy náhodná veličina Z se realizuje číslem menším než z1-α s pravděpodobností 1 – α a číslem větším než z1-α s pravděpodobností α.

Příklad 4.2. Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů (veličina X) je 52,73 ml se směrodatnou odchylkou rovnou 13,12 ml. Předpokládáme, že objem prostaty se řídí normálním rozdělením, za hodnoty parametrů µ a σ2 bereme populační odhady. Zajímá nás, jaká je pravděpodobnost, že objem prostaty u muže bude větší než 80 ml. Abychom zjistili, jaká pravděpodobnost přísluší hodnotě 80 ml jako kvantilu rozdělení náhodné veličiny X, provedeme standardizaci a zjistíme příslušnou pravděpodobnost na základě kvantilu standardizované normální veličiny Z. Výpočet hodnoty veličiny Z je následující:

(4.14)

Víme, že hodnota 2,08 představuje 100(1 – α)procentní kvantil, z1-α, standardizované normální veličiny Z, k ní odpovídající hladinu α zjistíme z tabulek hodnot kvantilové funkce. Lze zjistit, že pravděpodobnost výskytu hodnoty větší než 2,08 je pro standardizovanou normální veličinu rovna 0,0188, což tedy znamená, že pravděpodobnost výskytu prostaty s objemem větším než 80 ml je rovna přibližně 2%.

Obr. 4.2: Plochy pod hustotou pravděpodobnosti příslušné kvantilu z1-α.

Oblast, kde se náhodná veličina Z se standardizovaným normálním rozdělením realizuje s pravděpodobností 1 – α lze vyjádřit pomocí její distribuční funkce (ta vyjadřuje pravděpodobnost, že číselná realizace náhodné veličiny nepřekročí na reálné ose danou hodnotu) a příslušných kvantilů následujícím způsobem:

(4.15)

Jinými slovy, oblast realizace náhodné veličiny Z s rozdělením N(0,1) odpovídající pravděpodobnosti 1 – α lze vymezit pomocí jejích kvantilů, jmenovitě pomocí 100(α/2)procentního kvantilu, zα/2, a 100(1 – α/2)procentního kvantilu, z1-α/2. Vzhledem k symetrii hustoty standardizovaného normálního rozdělení jsou vždy tyto dva kvantily identické až na znaménko, tedy platí z1-α/2 = – zα/2.

Klíčové kvantily standardizovaného normálního rozdělení uvádí obrázek 4.3, ze kterého vyplývá, že náhodná veličina s rozdělením N(0,1) se s pravděpodobností 90% realizuje mezi hodnotou -1,64 a hodnotou 1,64, s pravděpodobností 95% mezi hodnotami -1,96 a 1,96 a s pravděpodobností 99% nepřekročí v absolutní hodnotě číslo 2,58.

Obr. 4.3: Klíčové kvantily standardizovaného normálního rozdělení pravděpodobnosti.

Vymezení oblasti, kde se náhodná veličina realizuje s určitou pravděpodobností je platné pro všechna rozdělení pravděpodobnosti, nejen pro standardizované normální (i když u rozdělení N(0,1) se vzhledem k jeho symetrii významné kvantily dobře pamatují). Tento fakt je velmi důležitý zejména v testování hypotéz, kde na základě toho, v jaké oblasti se realizuje hodnota testové statistiky (náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti), rozhodujeme o platnosti nebo neplatnosti sledované hypotézy.

 

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict