Modely zrychleného času (Accelerated Failure Time, AFT)

Regresní AFT model je vhodnou alternativou pro model proporcionálního rizika tehdy, když je předpoklad proporcionality rizik porušen. Jeho princip je založen na tom, že čas přežití -tého subjektu , je nezáporný, z čehož plyne, že můžeme modelovat jeho logaritmus. AFT model je tedy definován pomocí rovnice

kde je reziduální člen s daným rozdělením pravděpodobnosti. Zvolíme-li si referenční skupinu pacientů, pro které je hodnota vektoru vysvětlujících proměnných , dostaneme vyjádření jejích časů přežití jako . Funkci přežití , která odpovídá referenční skupině pacientů, nazýváme základní funkce přežití (baseline survival function). Nyní uvažujme vliv vektoru vysvětlujících proměnných . Pokud ze vztahu (7.7) vyjádříme s využitím referenčních dob přežití, , vidíme, že vysvětlující proměnná má vzhledem k času přežití multiplikativní efekt:

Z toho plyne, že pravděpodobnost přežití -tého subjektu s vektorem vysvětlujících proměnných x déle než do času t můžeme vyjádřit pomocí vztahu

Tento vztah lze interpretovat tak, že pravděpodobnost přežití pacienta s vektorem vysvětlujících proměnných v čase je rovna pravděpodobnosti přežití pacienta z referenční skupiny v čase . V případě pacientů, kteří neodpovídají referenční skupině, tak můžeme říci, že čas běží rychleji či pomaleji dle faktoru . Odhad regresních koeficientů v AFT modelu je opět založen na metodě maximální věrohodnosti.

Problémy k řešení:

Vyjádřete derivaci logaritmu funkce věrohodnosti exponenciálního regresního modelu s jednou vysvětlující proměnnou (nabývající hodnot 0 a 1). Využijte parametrizaci . (V řešení jsme označili a počty pozorovaných událostí a a počty subjektů ve sledovaných skupinách)

Řešení

parciální derivace podle :  $\frac{\partial l}{\partial {\beta }_0}=d_1+d_2-\exp \left({\beta }_0\right)\underset{i=1}{\sum ^{n_1}}{t}_i-\exp \left({\beta }_0+{\beta }_1\right)$$\underset{i=n_1+1}{\sum ^n}{t}_{\mathrm{i}}$
parciální derivace podle :  $\frac{\partial l}{\partial {\beta }_1}=d_2-\exp \left({\beta }_0+{\beta }_1\right)\underset{i=n_1+1}{\sum ^n}{t}_{\mathrm{i}}$