Modely proporcionálních rizik
Modely proporcionálních rizik jsou v současnosti nejpoužívanějšími modely v analýze přežití, což plyne zejména z jejich intuitivní interpretace a jednoduchosti použití. Regresní model proporcionálních rizik je vyjádřen pomocí rizikové funkce vztahem
|
|
(7.1) |
kde index označuje pacienty,
je vektor vysvětlujících proměnných
-tého subjektu,
je vektor regresních koeficientů příslušných jednotlivým proměnným a
je tzv. základní riziková funkce (baseline hazard function), která je společná všem pozorovaným subjektům. Výraz
vyjadřuje tzv. poměr rizik (hazard ratio, HR) daného subjektu vzhledem k subjektu se základním rizikem, který je definován pomocí vektoru vysvětlujících proměnných
. Vektorem
tak většinou označujeme subjekty odpovídající referenční skupině pacientů. Obecně lze poměr rizik pro subjekty s vektory vysvětlujících proměnných
a
vyjádřit pomocí vztahu
|
|
(7.2) |
Ze vztahu (7.2) je vidět, že poměr rizik dvou subjektů je v modelu proporcionálních rizik nezávislý na čase, což představuje základní předpoklad této rodiny modelů. A ten je samozřejmě třeba v rámci analýzy vždy ověřit, aby reprezentace dat přežití pomocí modelu proporcionálních rizik byla validní. Ověřením tzv. proporcionality rizik (proportional hazards) se zabývá kapitola o metodách regresní diagnostiky.
Vztah (7.1) můžeme zjednodušit s použitím logaritmické transformace, někdy také říkáme, že rovnici linearizujeme. Aplikací přirozeného logaritmu na rovnici (7.1) získáme vztah
|
|
(7.3) |
Předchozí vztahy (7.2) a (7.3) lze shrnout do tří předpokladů modelů proporcionálních rizik:
-
Vztah mezi vysvětlujícími proměnnými a přirozeným logaritmem rizikové funkce
je lineární;
-
Nebereme-li v úvahu interakce jednotlivých proměnných, mají vysvětlující proměnné na škále
aditivní vliv;
-
Vliv vysvětlujících proměnných na rizikovou funkci je stejný v každém čase
Podle charakteru základní rizikové funkce rozdělujeme modely proporcionálních rizik na dvě skupiny: parametrické, kde
je specifikována s použitím konkrétního rozdělení pravděpodobnosti (a jeho parametrů), a semiparametrické, kde
není specifikována. Analyticky je možnost vynechat konkrétní specifikaci základní rizikové funkce výhodná, neboť ve většině reálných aplikací nemáme apriorní znalost o rozdělení pravděpodobnosti časů přežití. Nejznámějším semiparametrickým modelem proporcionálních rizik je Coxův model, kterému je věnována následující kapitola.
