Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití

Nejznámějším a nejpoužívanějším neparametrickým odhadem funkce přežití, který se stal standardem pro hodnocení přežití v klinických studiích je Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití (Kaplan-Meier estimator) [1]. Myšlenka výpočtu je jednoduchá, aby byl subjekt v čase bez sledované události (aby se např. pacient s nádorovým onemocněním dožil času ), nesmí se u něj událost vyskytnout v žádném čase  takovém, pro nějž platí, že . Abychom tedy mohli odhadnout pravděpodobnost, že u daného subjektu se do času  nevyskytne sledovaná událost, musíme odhadnout odpovídající pravděpodobnosti také pro všechny časy , které času  předcházejí. Předpokládejme n různých časů přežití takových, že . Pak pravděpodobnost přežití bez výskytu sledované události až do času , , lze vyjádřit pomocí vztahu

	(3.1)

Abychom získali odhad , je třeba specifikovat jednotlivé komponenty rovnice (3.1). Vzhledem k tomu, že nemáme k dispozici jinou vstupní informaci než pozorované hodnoty, můžeme pravděpodobnost přežití daného času vyjádřit pouze s pomocí údajů o úmrtí v daném čase. Obecně lze tedy psát

(3.2)

kde je počet sledovaných událostí zaznamenaných v čase a  je počet subjektů v riziku výskytu sledované události v čase , což je počet subjektů, kteří bez sledované události přečkali čas . Funkci přežití pak můžeme odhadnout pomocí vztahu

(3.3)

Při odhadu pravděpodobností přežití jednotlivých časů je třeba adekvátně zohlednit cenzorování. Cenzorované časy přežití totiž nelze hodnotit stejně jako kompletní pozorování, neboť nepřispívají k , ale zároveň je nelze z hodnocení vyřadit. Kaplanův-Meierův odhad pracuje s cenzorováním tak, že tato pozorování vypadávají ze skupiny subjektů v riziku ihned po zaznamenaném čase cenzorování. Je-li tedy čas t cenzorovaný a platí, že , pak daný subjekt je v čase započítán do skupiny subjektů v riziku, ale v následujícím pozorovaném čase výskytu sledované události ho již do skupiny v riziku nezahrnujeme. Výsledný vzorec pro Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití lze tedy jednoduchou úpravou vztahu (3.3) zapsat jako

(3.4)

Prakticky počítáme výše uvedený součin pouze přes kompletní časy přežití, nicméně teoreticky ho lze definovat přes všechny pozorované časy přežití s tím, že cenzorované časy přežití k odhadu přispívají pouze prostřednictvím , neboť pro cenzorované časy je .