Funkce přežití

Čas přežití (survival time) neboli dobu do výskytu sledované události reprezentujeme nezápornou náhodnou veličinou , která představuje buď skutečný čas přežití daného subjektu, nebo cenzorovaný čas přežití. Abychom rozlišili subjekty s cenzorovaným a skutečným časem přežití, zaznamenáváme data přežití pomocí náhodného vektoru , kde  je náhodná veličina představující indikátor cenzorování. Představuje-li  skutečnou dobu přežití, respektive dobu do výskytu sledované události, pak náhodná veličina  nabývá hodnoty 1. Pokud je naopak čas přežití  subjektu cenzorovaný a sledovanou událost u něj tedy nepozorujeme, pak náhodná veličina  nabývá hodnoty 0. Jelikož je  náhodná veličina, lze její pravděpodobnostní chování, tedy přiřazení pravděpodobnosti každému možnému výsledku , popsat pomocí rozdělení pravděpodobnosti (survival distribution), respektive pomocí jedné z následujících funkcí [1]:

1. Distribuční funkce (distribution function), označme ji , vyjadřuje pravděpodobnost, že číselná realizace náhodné veličiny  nepřekročí na reálné ose danou hodnotu , což jinými slovy znamená, že čas přežití daného subjektu bude menší nebo roven hodnotě . Tuto definici můžeme zapsat jako

(2.1)

2. Hustota pravděpodobnosti (density function) udává pravděpodobnost výskytu sledované události v čase , respektive v daném časovém intervalu na reálné ose. Hustotu lze získat buď derivací distribuční funkce, tedy jako , nebo ji lze definovat pomocí vztahu

(2.2)

3. Funkce přežití (survival function), označme ji , vyjadřuje pravděpodobnost, že se náhodná veličina  realizuje na reálné ose až za danou hodnotou , což znamená, že čas přežití daného subjektu bude větší, než je zvolený čas . Funkci přežití lze tedy zapsat jako

(2.3)

Vzhledem k tomu, že se jedná o pravděpodobnost, tak funkce přežití nabývá pouze hodnot mezi 1 a 0 (častěji vyjadřováno jako 100 % a 0 %), kdy hodnotu 1 má funkce přežití v čase  a hodnotu 0 při výskytu poslední události, kdy  může být teoreticky libovolně velké číslo. Funkce přežití je vždy funkcí nerostoucí.

Další důležitou charakteristikou dat přežití je tzv. riziková funkce (hazard function). Ta vyjadřuje intenzitu výskytu sledované události v čase  za podmínky, že subjekt přežil do času , což můžeme zapsat následujícím způsobem

(2.4)

Riziková funkce jako okamžitá intenzita výskytu sledované události je velmi důležitou funkcí zejména v modelování přežití (viz kapitola 7), nicméně pro praktický popis dosahovaného přežití v souboru subjektů je praktická spíše její kumulativní varianta, tedy kumulativní riziková funkce (cumulative hazard function, integrated hazard). Jak již napovídá anglické označení, kumulativní riziko získáme integrací rizikové funkce podle času, což zapíšeme jako

(2.5)

Kumulativní riziková funkce odpovídá celkovému riziku výskytu sledované události od začátku sledování až do času . Vzhledem k tomu, že se jedná o riziko a nikoliv o pravděpodobnost, není funkce na rozdíl od funkce přežití shora omezena číslem 1.