Náhodné efekty v Coxově modelu

V případě jakékoliv závisle proměnné, přežití nevyjímaje, lze zdroje variability v této proměnné rozdělit na dvě hlavní skupiny: pozorované proměnné odpovídající vysvětlujícím proměnným, které máme pro modelování k dispozici, a nepozorované proměnné, jejichž vliv na přežití nejsme schopni vyhodnotit, protože jejich hodnoty neznáme (důvodem může být, že tyto proměnné nebyly vůbec měřeny nebo jsou v praxi nepozorovatelné). Vliv pozorovaných proměnných v modelu pak označujeme jako tzv. pevné efekty (fixed effects), vliv nepozorovaných proměnných pak jako tzv. náhodné efekty (random effects). Coxův model s náhodnými efekty (často označován také jako frailty model) tak představuje zobecnění, které nám umožňuje pracovat i s variabilitou odpovídající nepozorovaným proměnným, respektive variabilitou, která je nad rámec uvažovaných vysvětlujících proměnných.

Coxův model s náhodnými efekty můžeme použít pro modelování jednorozměrných dat o přežití, kdy jednotlivé pozorované hodnoty jsou navzájem nezávislé (tzv. univariate frailty model), nebo i vícerozměrných (závislých) dat o přežití (tzv. multivariate frailty model), která v sobě skrývají určitou korelační strukturu. Příkladem prvního zmíněného použití Coxova modelu s náhodnými efekty je zahrnutí zdravotnického zařízení jako náhodného efektu v modelování přežití pacientů v multicentrické klinické studii. V tomto případě nám použití náhodného efektu umožní zahrnout do modelu vliv nepozorovaných proměnných spojených se zdravotnickým zařízením, tedy těch, které se liší napříč nemocnicemi, v nichž byli pacienti léčeni.

Označíme-li nepozorovanou proměnnou , pak riziková funkce Coxova modelu s náhodnými efekty pro modelování jednorozměrných nezávislých dat je definována jako

kde je náhodný efekt pro -tý subjekt () a je riziková funkce v čase odpovídající standardnímu Coxovu modelu proporcionálních rizik pro daný subjekt s hodnotami pozorovaných vysvětlujících proměnných . O nepozorované náhodné veličině předpokládáme, že pochází z rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou rovnou 1 a rozptylem (tento předpoklad má čistě teoretický základ, pro který není v tomto textu prostor). Náhodný efekt proměnné pak spočívá v tom, že -tý pacient s bude mít vyšší riziko úmrtí, zatímco pacient s bude mít riziko úmrtí nižší než průměrný pacient s hodnotami vysvětlujících proměnných . Parametry modelu bývají rovněž odhadovány pomocí maximalizace logaritmu parciální věrohodnostní funkce i se zahrnutím parametru proměnné , u které nejčastěji předpokládáme, že pochází z gamma rozdělení pravděpodobnosti nebo logaritmicko-normálního rozdělení.

Tento model může být také vyjádřen pomocí podmíněné funkce přežití na úrovni jedince následujícím způsobem

Takto definovaný individuální model však není pozorovatelný (protože  je nepozorovaná či neměřená proměnná zahrnutá do modelu), proto uvažujeme následně model definovaný na populační úrovni, pro který má funkce přežití sledované populace s pozorovanými hodnotami vysvětlujících proměnných tvar