Souborové průměry, stacionarita, ergodicita
Modely založené na časových průměrech zanedbávají veškeré informace o časové variabilitě statistických momentů náhodných procesů, a proto jsou užitečné pouze v případech, kdy lze zavést předpoklad stacionarity náhodných procesů a jimi generovaných časových řad.
Stacionarita je vlastnost náhodného procesu, která mu přisuzuje časovou invariantnost jeho statistických momentů. O stacionárním náhodném procesu lze říci, že jeho pravděpodobnostní funkce je nezávislá na čase. V důsledku toho je jeho autokorelační funkce závislá pouze na zpoždění mezi vzorky a nikoli na absolutním čase. V literatuře se lze setkat s mnoha různými definicemi stacionarity, včetně slabé a silné stacionarity, autokorelační stacionarity atd.
POUČKA ODVOZENÁ SELSKÝM ROZUMEM:
„Předpoklad stacionarity splňují ty časové řady či náhodné procesy, které jsou bez trendu, mají s měnícím se časem stejný rozptyl a stejný průběh autokorelační funkce.“
U modelů živých systémů, které stárnou a adaptují se na měnící se podmínky prostředí, bude předpoklad stacionarity do jisté míry vždy omezující. V mnoha případech vykazují statistické momenty časových řad tak rychlé změny, že předpoklad stacionarity nelze zavést ani v omezených časových intervalech. Pro taková data je pak lepší volit abstraktnější model založený na souborových průměrech.
Vysvětlení rozdílu mezi časovými a souborovými průměry je ukázkově vysvětleno v [1] na příkladu plynových částic pohybujících se v uzavřeném prostoru. Každá částice vykonává neustále tzv. Brownův pohyb. Je-li zaznamenána trajektorie pohybu částic, může z ní být pro každou částici určena průměrná poloha, která se vypočítá způsobem odpovídajícím výše zavedenému časovému průměru. Alternativně lze však v různých časových okamžicích určit také průměrnou polohu všech částic, a to výpočtem, který se označuje jako souborový průměr. Pozici plynových částic lze tedy považovat za funkci dvou proměnných: času a souborové proměnné identifikující jednotlivé částice. Pro každý časový index n je možné vypočítat podíl částic, které leží mezi pozicemi X a X+DX podél jedné z os. V limitním případě, když se DX blíží k nule, definuje tento podíl časově závislou pravděpodobnostní funkci fx(X, n). Souborová průměrná pozice E(X(n)), neboli očekávaná hodnota pozice podél jedné z os se vypočítá:
|
|
(6.41) |
což je rovnice, která je sice podobná na rovnici (6.36) pro výpočet časového průměru náhodné časové řady z pravděpodobnostní funkce, avšak obě rovnice mají zcela odlišnou interpretaci. V rovnici (6.34) byla pravděpodobnostní funkce definována jako časový průměr, takže (6.36) vyjadřuje vlastně vzájemný vztah mezi dvěma časovými průměry. Rovnice (6.41) definuje očekávanou hodnotu na základě souborové pravděpodobnostní funkce fx(X, n), která je a priori dána pro každé n. Tedy zatímco v (6.34) pravděpodobnostní funkce nenese informaci o tom, jak se pozice jednotlivých částic mění v čase, tak v rovnici (6.41) je tato informace v pravděpodobnostní funkci obsažena.
Podobně jako na pohybující se plynové částice lze nahlížet také na mnohé časové řady. Sejme-li se např. vícekrát elektroencefalogram z povrchu hlavy stejného pacienta za identických experimentálních podmínek, není pochyb, že jednotlivé časové řady se budou mezi sebou lišit, i když budou vykazovat velmi podobné statistické momenty. Na každý záznam elektroencefalogramu lze pohlížet jako na jeden prvek souboru časových řad, které by eventuálně mohly být naměřeny. V uvedeném příkladu není soubor přímo pozorovatelný – jedná se o abstrakci či model charakterizující nejistotu o časové řadě – elektroencefalogramu.
Teorie o pravděpodobnosti zavádí pojem stacionární ergodický proces, což je náhodný proces, který vykazuje stacionaritu i ergodicitu. Ergodicita je vlastnost náhodného procesu, která mu přisuzuje shodu mezi jeho souborovými a časovými průměry. V praxi to znamená, že stacionární ergodický náhodný proces jednak nemění své statistické momenty v čase a dále, že tyto jeho statistické momenty mohou být zjištěny z jediné dostatečně dlouhé realizace náhodného procesu.
