Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datLineární a adaptivní zpracování dat Náhodné procesy a modely časových řad - dekompozice Vybrané statistické momenty náhodných procesů Pravděpodobnostní funkce

Logo Matematická biologie

Pravděpodobnostní funkce

V části Pravděpodobnost a Čebyševova nerovnost bylo ukázáno, že pravděpodobnosti lze považovat za speciální případy časových průměrů. Ze vztahu (6.10) lze odvodit pravděpodobnost, že časová řada x(n) nabude hodnoty mezi X a X+DX, a to pomocí časového průměru obdélníkové funkce s šířkou DX [1]:

(6.33)

Pravděpodobnostní funkce fx(X) je dána podílem této pravděpodobnosti a šířkou intervalu DX, což při DX blížící se v limitě nule dává:

                                            

(6.34)

Plocha pod normalizovanou obdélníkovou funkcí v (6.34) bude jednotková pro jakoukoli šířku intervalu DX. Pro DX blížící se k nule bude tato funkce jednotkovým impulsem d(X). To znamená, že pravděpodobnostní funkci lze formálně zapsat jako časový průměr funkce d [1]:

(6.35)

Pravděpodobnostní funkce fx(X) vyjadřuje pravděpodobnost, že hodnota časové řady x(n) leží ve velmi úzkém intervalu se středem v x(n)=X, normovanou šířkou tohoto intervalu. Malé písmeno x v fx(X) reprezentuje náhodnou časovou řadu x(n) a velké písmeno X reprezentuje konkrétní střed intervalu, pro který je pravděpodobnost počítána. Tato dvě písmena tedy spolu přímo nesouvisí. Např. fy(X)DX vyjadřuje pravděpodobnost, že hodnota časové řady y(n) je v intervalu o šířce DX centrovaném v X.

Obr. 6.1: Detekce sinusové vlny skryté v šumu. Amplitudy autokorelačních a křížových korelačních funkcí jsou normované tak, aby nabývaly jedné v počátku. Odhady jsou vypočítané z průběhů dlouhých 10000 vzorků. A) Časová řada x(n) je aditivní směsí užitečné složky s(n) – harmonická časová řada – a rušivé složky v(n) – bílý šum. B) Pomocná časová řada y(n) je harmonická časová řada bez rušení. C) Odhad křížové korelační funkce Cny(k) ukazuje, že y(n) a v(n) jsou mezi sebou nekorelované. D) Z odhadu autokorelační funkce Rxx(k) časové řady x(n) lze vyčíst jasně periodu užitečné složky ve směsi x(n). E) Odhad autokorelační funkce bílého šumu.

Pomocí pravděpodobnostní funkce lze vyjádřit střední hodnotu časové řady x(n), alternativně k (6.2), jako:

(6.36)

přičemž se někdy uvádí, že pomocí (6.36) je definovaná tzv. očekávaná hodnota (expected value), což je v tomto kontextu jen jiný název pro střední hodnotu náhodné časové řady. Intuitivní důkaz k (6.36) lze ukázat, pokud se v rovnici (6.2) pro časový průměr provede sčítání nikoli přes indexy n, ale přes narůstající amplitudy časové řady x(n). Rozdělením rozsahu všech hodnot x(n) na navazující malé intervaly s šířkou DX centrované v Xi iDX lze sumu v rovnici (6.2) vyjádřit jako:

(6.37)

Za předpokladu dostatečně úzkých intervalů DX lze všechny hodnoty x(n) v jednotlivých intervalech aproximovat pomocí středu intervalu Xi, a sumu pak lze vyjádřit jako:

(6.38)

Vydělením N a zavedením limity pro velká N se již vyjádří časový průměr:

(6.39)

který za předpokladu velmi úzkých intervalů DX lze vyjádřit pomocí pravděpodobnostní funkce:

(6.40)

neboť pravděpodobnost, že x(n) leží v intervalu o šířce DX centrovaném v Xi lze vyjádřit součinem fx(Xi)DX. V limitě se suma přes indexy i přibližuje integrálu uvedeném v (6.36).

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict