Pravděpodobnost a Čebyševova nerovnost

Časové průměry jsou velmi úzce provázané s pravděpodobností, což lze ukázat na následujících rovnicích, ve kterých se pracuje s časovými průměry u(x(n)), kde u(x) je tzv. jednotkový skok:

(6.8)

Funkce u(x(n)) nabývá hodnoty 1, pokud x(n) ≥ 0 a jinak nabývá hodnoty 0. Suma v (6.8) vlastně vyjadřuje počet vzorků, pro které x(n) ≥ 0, a časový průměr <u(x(n))> tedy vyjadřuje pravděpodobnost, že x(n) je nezáporné, tedy P(x(n) ≥ 0):

(6.9)

Rovnice (6.8) a (6.9) lze zobecnit pro libovolnou prahovou hodnotu X₀ a pomocí časových průměrů vyjádřit pravděpodobnost, že x(n) je větší nebo rovno X₀:

(6.10)

Z výše uvedeného vyplývá, že pravděpodobnosti lze považovat za speciální případy časových průměrů.

Rozptyly a pravděpodobnosti jsou mezi sebou vázány důležitou nerovností pojmenovanou podle ruského matematika Čebyševa. Tato nerovnost udává horní mez pro pravděpodobnost, že se hodnota časové řady x(n) liší od její střední hodnoty více než o libovolnou hodnotu e:

(6.11)

Důkaz Čebyševovy nerovnosti lze najít např. v [1]. Je pozoruhodné, že tato nerovnost platí pro libovolné náhodné časové řady, přičemž pro konkrétní typy náhodných časových řad, vymezené např. konkrétní pravděpodobnostní funkcí, lze dospět ještě k těsnějším mezím. Čebyševova nerovnost je důležitá, neboť odůvodňuje běžnou matematickou praxi odhadů založených na minimalizaci kvadratické chyby. Např. minimalizace rozptylu chyby predikce v(n), definované ve (6.1), dává podle Čebyševovy nerovnosti smysl, neboť je nepravděpodobné, že by hodnoty v chybové posloupnosti v(n) byly velké, pokud je její rozptyl malý.