Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datLineární a adaptivní zpracování dat Kumulační zvýrazňování užitečné složky časových řad v šumu Repetiční časové řady s náhodným rušením

Logo Matematická biologie

Repetiční časové řady s náhodným rušením

Repetiční časovou řadu lze v případě aditivního rušení vyjádřit jako součet užitečné složky s a rušivé složky n, které jsou navzájem nezávislé (takový byl předpoklad stanovený na začátku této výukové jednotky - viz Předpoklady pro kumulační zvýrazňování užitečné složky časových řad v šumu). Při splnění podmínky časové koherence repetic lze k-tý vzorek j-té repetice vyjádřit součtem (viz také obr. 5.3):

(5.5)

a posloupnost kumulovaných (či váženě zprůměrovaných) vzorků v jedné repetici se vyjádří jako lineární kombinace M repetic:

(5.6)

kde a1, a2, … aM jsou váhy jednotlivých repetic – např. pro prosté průměrování[1] platí, že aj=1/M pro j=1, 2, … M. Pro stanovení, jak se zlepší poměr užitečné složky ke složce rušivé, tj. zlepšení SNR, lze rovnici (5.6) přepsat do tvaru:

(5.7)

Z prvního členu pravé strany rovnice (5.7) lze vyčíst změnu užitečné složky sj(k), a sice na - násobky původních hodnot jejich vzorků. Druhý člen v rovnici (5.7) pak vyjadřuje lineární kombinaci M realizací náhodného šumu – konkrétní změnu v zastoupení rušivé složky v kumulované časové řadě tedy nelze z rovnice (5.7) přímo vyjádřit. Za předpokladu, že šum je generován náhodným procesem s nulovou střední hodnotou, lze očekávat, že pro nekonečně velký počet navzájem nekorelovaných repetic nj(k), j=1,2,…,∞ bude rušivá složka ve výsledné kumulované repetici redukována tak že x(k)M s(k)M. V reálných podmínkách je však M<<∞ a zbytková rušivá složka může být nejlépe charakterizována svým rozptylem. Pro rozptyl lineární kombinace náhodných veličin z druhého členu rovnice (5.7) platí:

(5.8)

kde σj2 jsou rozptyly jednotlivých náhodných veličin a σij jsou kovariance dvojic členů kombinace [3]. Za předpokladu, že je šum generován stacionárním procesem, bude jeho rozptyl stejný ve všech repeticích σj2 = σ2, = 1,2,…,M. V takovém případě lze pro rozptyl zbytkové rušivé složky σM2 po kumulaci přepsat vztah (5.8) na:

(5.9)

Je-li splněn úvodní předpoklad, že realizace šumu v jednotlivých repeticích jsou na sobě nezávislé, pak druhý člen v rovnici (5.9) bude nulový a po kumulaci se změní rozptyl rušivé složky na - násobek původního rozptylu. Pokud tento předpoklad splněný není, rozptyl zbytkové rušivé složky je vyšší, a zhoršuje se tak výsledek kumulačního zvýrazňování užitečné složky časové řady.

Z rovnic (5.1), (5.2), (5.7) a (5.9) lze odvodit výsledné výkonové zlepšení poměru signálu k šumu  Kms:

(5.10)

a amplitudové zlepšení poměru signálu k šumu Krms:

(5.11)

Z rovnic (5.10) a (5.11) je evidentní, že zlepšení poměru signálu k šumu s využitím kumulačních technik je závislé pouze na počtu repetic M a na konfiguraci váhových koeficientů aj. Je důležité poznamenat, že zlepšení Kms a Krms jsou zlepšení průměrná, která budou dosažitelná pouze při velkém počtu repetic, tj. při velkém počtu realizací náhodného šumu. Pro nízký počet repetic je nutné počítat s tím, že některé vzorky ve výsledné repetici po kumulaci mohou být zatíženy třeba i větší chybou než před aplikací kumulačního zvýrazňování užitečné složky časových řad [3].


[1] Kumulace s rovnoměrnými vahami.

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict