Úlohy k procvičení
Cvičení 1. Odvoďte tvar Priestleyova-Chaova odhadu regresní funkce v bodě pro obdélníkové jádro.
Řešení
Obdélníkové jádro:
pro
Priestleyův-Chaův odhad:
Princip je podobný jako u Nadaraya-Watsonových odhadů (Základní typy neparametrických odhadů).
Cvičení 2. Pro odhad dokažte, že „množství“ vyhlazení pomocí jádra
s vyhlazovacím parametrem
je stejné, jako „množství“ vyhlazení jádrem
s parametrem
tj.
Cvičení 3. Uvažujte funkci a regresní model
kde
Vypočtěte hodnotu
pro odhad s jádrem
Pomůcka:
Řešení
Do vztahu Jádrové odhady regresní funkce (13) dosadíme hodnoty
a
(z tabulky Jádrové funkce a jejich vlastnosti 2) a z regresního modelu
Cvičení 4. Vypočtěte pro data z ukázkového příkladu Jádrové odhady regresní funkce 3.6 a porovnejte s
Cvičení 5. Dokažte vztah Jádrové odhady regresní funkce (11) pro obecné tj. že platí
Řešení
Ve vztahu Jádrové odhady regresní funkce (7) použijeme Taylorův rozvoj
Využijeme vlastnosti jádra
a dostaneme
Dále postupujeme jako při odvození vztahu Jádrové odhady regresní funkce (11).
Cvičení 6. Dokažte vztah z lemmatu Jádrové odhady regresní funkce 3.4.
Řešení
Spočítejme nejdříve derivaci
(viz vztah Jádrové odhady regresní funkce (12))
Jelikož hledáme minimum funkce
položíme tuto derivaci rovnu nule
Nechť
je řešením této rovnice. Dále vynásobíme tuto rovnici parametrem
neboli
Cvičení 7. Aplikujte metodu křížového ověřování a automatickou proceduru na simulovaná data z ukázkového příkladu Jádrové odhady regresní funkce 3.6.
