Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datTeorie a praxe jádrového vyhlazování Jádrové odhady hustoty Volba vyhlazovacího parametru Metoda maximálního vyhlazení

Logo Matematická biologie

Metoda maximálního vyhlazení

Princip maximálního vyhlazení (maximal smoothing) - (nebo přehlazení) znamená, že vybereme největší stupeň přehlazení kompatibilní s odhadovanou hustotou. Získáme tak horní hranici pro odhad optimální šířky vyhlazovacího okna. Tato hodnota pak může sloužit jako počáteční aproximace pro některé z dalších metod. Princip spočívá v tom, že hledáme hustotu, pro kterou nabývá minimální hodnoty, a tedy vztah pro nabývá maximální hodnoty.

Věta 5.4 (Terrell 1990). Mezi všemi hustotami s nosičem má hustota rozdělení Beta(k+2,k+2)

(16)

nejmenší hodnotu integrálu

 

Lze ukázat, že platí

  1. Pro pro každou hustotu, pro kterou integrál existuje.
  2. Jestliže hustota má rozptyl pak hustota má rozptyl

Jestliže je neznámá hustota s rozptylem a je hustota rozdělení Beta(k+2,k+2), pro kterou je minimální, pak využitím faktu 1-3 lze ukázat, že

Hodnotu lze odhadnout pomocí dříve uvedených vztahů a

Hodnotu lze vypočítat pomocí speciálních ortogonálních polynomů [5]:

(17)

Použijeme-li poslední vyjádření Jádrové odhady hustoty (17), dostaneme horní hranici pro vyhlazovací parametry

přičemž

 
Tab. 1. Hodnoty bk pro optimální jádro Kopt,0,k   S0k

Příklad 5.5. Určeme hodnotu pro odhad hustoty s jádrem řádu k=2, tj.
Podle věty Jádrové odhady hustoty 5.4 je hustota tvaru

a dále z vlastností funkce a ze vztahu Jádrové odhady hustoty (17) plyne

Pak pro

 

Příklad 5.6. Pro data z příkladu Jádrové odhady hustoty 2.1 bude vyhlazovací parametr určený metodou maximálního vyhlazení s Epanečnikovým jádrem roven

protože a Výsledný odhad je vidět na následujícím obrázku

Obr. 8. Odhad hustoty s hMS =1,0409, odhad (červená, plná), původní funkce (modrá, čárkovaná)

Poznámka 5.7. Hodnota může sloužit jako horní hranice pro množinu vyhlazovacích parametrů volených podle jiné metody, např. metody křížového ověřování. Tedy kde je nejmenší vzdálenost mezi po sobě jdoucími body

Otázka. Jak hodnotu bude mít odhad vyhlazovacího parametru pomocí metody maximálního vyhlazení pro hustotu z ukázkového příkladu Jádrové odhady hustoty 3.5?

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict