Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datRegresní modelování Logistický regresní model a jiné zobecněné lineární modely Logistický regresní model Definice logistického regresního modelu

Logo Matematická biologie

Definice logistického regresního modelu

Cílem logistického regresního modelu je modelování náhodného výběru proměnných s binárním výsledkem. Rozdělení takového výsledku je možné popsat binomickým rozdělením. Binomické rozdělení je diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve formě nastala/nenastala) v sérii nezávislých experimentů, kdy v každém experimentu je stejná pravděpodobnost výskytu události .

Binomické rozdělení má následující pravděpodobnostní funkci:

Známe-li parametr , pak podle počtu experimentů známe střední hodnotu a rozptyl

Abychom logistický regresní model nadefinovali, uvažujme jeden z nezávislých experimentů (jedno pozorování). Výsledek tohoto experimentu je rozdělený alternativně (nabývající hodnoty 1 s pravděpodobností , jinak nabývá hodnoty 0):

Srovnejme lineární regresi (vlevo) s logistickou regresí (vpravo)

 

 

modelujeme spojitý výsledek
hodnota parametru (střední hodnoty) je rovna lineárnímu prediktoru

 

 

modelujeme nastání náhodného jevu
hodnota parametru (střední hodnoty) je rovna transformovanému prediktoru
hodnota lineárního prediktoru odpovídá střední hodnotě transformované linkovací funkcí logit

 

Proč ale vůbec tuto linkovací funkci používáme?

Pokud bychom linkovací funkci nepoužili (tedy použili jako linkovací funkci identitu, tak jako v lineární regresi), pak bychom jako hodnotu pravděpodobnosti dostávali různá reálná čísla. Nepochybně ale nechceme jako modelovanou pravděpodobnost čísla menší než 0 nebo větší než 1.

Uvažujme tedy zmíněnou funkci logit:

a její inverzi (někteří autoři ji označují jako „expit“):

Za komplikovanými vztahy se skrývají velmi užitečné vlastnosti této funkce. Ukažme si je na následujících grafech (obr. 1). Podíváme-li se na pravý obrázek, vidíme, že zatímco lineární prediktor může nabývat libovolných hodnot na reálné ose, transformace expit nám zajistí, že výsledek bude v oboru hodnot od nuly do jedné (asymptoty jsou opravdu v 0 a 1).

Obr. 1: Linkovací funkce a její inverze (expit) v logistickém regresním modelu

 

 

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict