Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datRegresní modelování Lineární regresní model Jak definujeme lineární regresní model? Lineární regresní model

Logo Matematická biologie

Lineární regresní model

Předpokládejme na chvilku, že existuje pro všechna pozorování přesný vztah mezi dvěma (nenáhodnými) veličinami y (výsledek) a x (prediktor):

Takto definovaný vztah mezi veličinami však na reálných datech (zejména z biologie nebo medicíny) v praxi pozorujeme stěží. Pro regresní modelování se proto využívá následujícího vztahu, který v sobě již zahrnuje náhodnou veličinu ε (reziduum) reprezentující odchylku od uvedeného ideálního vztahu. Y označuje výsledek (náhodnou veličinu), x označuje prediktor (nenáhodnou, přesně změřenou veličinu). Předpokládejme tedy, že pro jednotlivá pozorování (např. pacienty, lokality, apod.) číslované prostřednictvím indexu i od 1 do n (celkový počet pozorování) platí:

(2.1)

O reziduích budeme předpokládat, že jsou

  • nesystematické – střední hodnota reziduí je rovna 0: pro i = 1,...,n
  • homogenní v rozptylu – rozptyl reziduí je pro všechna pozorování stejný: pro i = 1,...,n
  • jsou vzájemně nekorelované:  pro ij; i, j = 1,...,n
     

Pro jeden prediktor x se regresní koeficienty značí β0 a β1, jedná se o zmíněný absolutní člen a směrnici regresní přímky. Uvedený vztah lze jednoduše rozšířit na větší počet (p) prediktorů (pak máme celkem k = p + 1 parametrů včetně β0, absolutního členu). Dostáváme definici vícenásobného regresního modelu (multiple regression):

(2.2)

Rozepsáno do vztahů pro očekávané hodnoty (predikce) jednotlivých pozorování i = 1,...,n:

.
.

Tuto soustavu vztahů můžeme zapsat jako následující vztah využívající násobení matic:

Vektor výsledků, matici plánu, vektor regresních koeficientů a vektor reziduí označíme po řadě Y, X, β a ε. Maticový zápis regresních rovnic nám umožní zjednodušit definice potřebných statistik.

(2.3)

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict